Номер 1.159, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.159. Решите систему квадратных неравенств

$\begin{cases} x^2 - 25 \le 0, \\ x^2 + 5x \ge 0. \end{cases}$

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

Данная система неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 25 \le 0, \\ x^2 + 5x \ge 0. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 25 \le 0$

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 25 = 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 5)(x + 5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

График функции $y = x^2 - 25$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - 25 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением первого неравенства является промежуток $x \in [-5, 5]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 5x \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 5x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 5) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

График функции $y = x^2 + 5x$ также является параболой с ветвями вверх. Неравенство $x^2 + 5x \ge 0$ выполняется на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решением второго неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -5] \cup [0, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений системы

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти общие значения для $x \in [-5, 5]$ и $x \in (-\infty, -5] \cup [0, \infty)$.

Изобразим эти множества на числовой прямой. Пересечением будет являться множество, содержащее точку $x = -5$ и отрезок $[0, 5]$.

Ответ: $\{-5\} \cup [0, 5]$.