Номер 1.157, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.157. Постройте параболу $y=x^2$ и прямую $y=x+6$. Запишите координаты точек пересечения графиков этих функций.

Для решения задачи сначала необходимо построить графики данных функций, а затем найти их точки пересечения аналитически.

1. Построение графиков

Парабола $y = x^2$

График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат, в точке (0, 0), а ветви направлены вверх. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$ → точка (0, 0)
• при $x = \pm 1$, $y = (\pm 1)^2 = 1$ → точки (1, 1) и (-1, 1)
• при $x = \pm 2$, $y = (\pm 2)^2 = 4$ → точки (2, 4) и (-2, 4)
• при $x = \pm 3$, $y = (\pm 3)^2 = 9$ → точки (3, 9) и (-3, 9)

Прямая $y = x + 6$

График функции $y = x + 6$ — это прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек. Удобно взять точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$ (пересечение с осью OY): $y = 0 + 6 = 6$. Точка (0, 6).
• При $y = 0$ (пересечение с осью OX): $0 = x + 6$, откуда $x = -6$. Точка (-6, 0).

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их, получаем графики параболы и прямой. Визуально можно предположить, что они пересекаются в двух точках.

2. Нахождение координат точек пересечения

Точки пересечения графиков — это точки, которые принадлежат обоим графикам. В этих точках значения $x$ и $y$ для обеих функций совпадают. Чтобы найти их координаты, приравняем правые части уравнений функций:

$x^2 = x + 6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

• $x_1 + x_2 = -(-1) = 1$
• $x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в уравнение любой из функций. Удобнее использовать уравнение прямой $y = x + 6$:

• Для $x_1 = 3$:
  $y_1 = 3 + 6 = 9$.
  Координаты первой точки пересечения: $(3, 9)$.
• Для $x_2 = -2$:
  $y_2 = -2 + 6 = 4$.
  Координаты второй точки пересечения: $(-2, 4)$.

Запишите координаты точек пересечения графиков этих функций. Ответ: Координаты точек пересечения графиков: $(-2, 4)$ и $(3, 9)$.