Номер 1.160, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.160. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

a) $x^2 - 7x - 2 = 0;$

б) $3x^2 + 5x - 13 = 0.$

Для нахождения суммы и произведения корней данных квадратных уравнений воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие равенства: $x_1 + x_2 = -b/a$ и $x_1 \cdot x_2 = c/a$. Прежде всего, необходимо убедиться, что уравнения имеют действительные корни, для чего вычислим их дискриминанты $D = b^2 - 4ac$.

а) Для уравнения $x^2 - 7x - 2 = 0$ коэффициенты равны: $a=1, b=-7, c=-2$.
Проверим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 49 + 8 = 57$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета находим сумму и произведение корней:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-7)/1 = 7$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2/1 = -2$.
Ответ: сумма корней 7, произведение корней -2.

б) Для уравнения $3x^2 + 5x - 13 = 0$ коэффициенты равны: $a=3, b=5, c=-13$.
Проверим дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-13) = 25 + 156 = 181$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета находим сумму и произведение корней:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3}$.
Ответ: сумма корней $ -\mathbf{1}\frac{2}{3} $, произведение корней $ -\mathbf{4}\frac{1}{3} $.