Номер 1.143, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.143. Выполните сложение или вычитание дробей:

а) $ \frac{m}{m - 7} - \frac{7}{m + 7} $;

б) $ \frac{2}{4 - x} + \frac{3}{x + 4} $;

в) $ \frac{3}{4a - 3} - \frac{4}{3a + 1} $.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{m}{m-7} - \frac{7}{m+7}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели $(m-7)$ и $(m+7)$ не имеют общих множителей, поэтому их общий знаменатель равен их произведению: $(m-7)(m+7) = m^2 - 49$.

Умножим первую дробь на дополнительный множитель $(m+7)$, а вторую — на $(m-7)$:

$\frac{m}{m-7} - \frac{7}{m+7} = \frac{m(m+7)}{(m-7)(m+7)} - \frac{7(m-7)}{(m+7)(m-7)} = \frac{m^2+7m}{m^2-49} - \frac{7m-49}{m^2-49}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(m^2+7m) - (7m-49)}{m^2-49} = \frac{m^2+7m-7m+49}{m^2-49} = \frac{m^2+49}{m^2-49}$

Так как степень многочлена в числителе равна степени многочлена в знаменателе, данная дробь является неправильной. Выделим целую часть:

$\frac{m^2+49}{m^2-49} = \frac{(m^2-49)+98}{m^2-49} = \frac{m^2-49}{m^2-49} + \frac{98}{m^2-49} = 1 + \frac{98}{m^2-49}$

Ответ: 1$+\frac{98}{m^2-49}$

б) Для сложения дробей $\frac{2}{4-x} + \frac{3}{x+4}$ найдем общий знаменатель. Знаменатели $(4-x)$ и $(x+4)$ различны. Общий знаменатель — их произведение: $(4-x)(x+4) = (4-x)(4+x) = 16-x^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2}{4-x} + \frac{3}{x+4} = \frac{2(x+4)}{(4-x)(x+4)} + \frac{3(4-x)}{(x+4)(4-x)} = \frac{2x+8}{16-x^2} + \frac{12-3x}{16-x^2}$

Сложим числители:

$\frac{(2x+8) + (12-3x)}{16-x^2} = \frac{2x+8+12-3x}{16-x^2} = \frac{20-x}{16-x^2}$

Полученная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{20-x}{16-x^2}$

в) Для вычитания дробей $\frac{3}{4a-3} - \frac{4}{3a+1}$ найдем общий знаменатель. Знаменатели $(4a-3)$ и $(3a+1)$ не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель равен их произведению $(4a-3)(3a+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю, домножив каждую на соответствующий множитель:

$\frac{3}{4a-3} - \frac{4}{3a+1} = \frac{3(3a+1)}{(4a-3)(3a+1)} - \frac{4(4a-3)}{(3a+1)(4a-3)}$

Раскроем скобки в числителях и выполним вычитание:

$\frac{9a+3}{(4a-3)(3a+1)} - \frac{16a-12}{(4a-3)(3a+1)} = \frac{(9a+3)-(16a-12)}{(4a-3)(3a+1)} = \frac{9a+3-16a+12}{(4a-3)(3a+1)} = \frac{15-7a}{(4a-3)(3a+1)}$

Полученная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{15-7a}{(4a-3)(3a+1)}$