Номер 1.131, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.131. Выполните сложение или вычитание рациональных дробей:

a) $ \frac{5a}{a+b} + \frac{5b}{a+b}; $

б) $ \frac{3c}{3c-1} - \frac{1}{3c-1}; $

в) $ \frac{4x+3}{5x+5} + \frac{6x-3}{5x+5}; $

г) $ \frac{m-n}{n-2} - \frac{m-2}{n-2}. $

а) Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же:
$\frac{5a}{a+b} + \frac{5b}{a+b} = \frac{5a + 5b}{a+b}$
В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки:
$\frac{5(a+b)}{a+b}$
Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$, при условии, что $a+b \neq 0$:
$\frac{5\cancel{(a+b)}}{\cancel{a+b}} = 5$
Ответ: 5

б) Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же:
$\frac{3c}{3c-1} - \frac{1}{3c-1} = \frac{3c-1}{3c-1}$
Так как числитель и знаменатель равны (и не равны нулю, при $3c-1 \neq 0$), значение дроби равно 1:
$\frac{3c-1}{3c-1} = 1$
Ответ: 1

в) Складываем дроби с одинаковым знаменателем $5x+5$:
$\frac{4x+3}{5x+5} + \frac{6x-3}{5x+5} = \frac{(4x+3) + (6x-3)}{5x+5}$
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{4x+6x+3-3}{5x+5} = \frac{10x}{5x+5}$
В знаменателе выносим общий множитель 5 за скобки:
$\frac{10x}{5(x+1)}$
Сокращаем дробь на 5:
$\frac{2x}{x+1}$
Полученная дробь является неправильной, так как степень многочлена в числителе (1) равна степени многочлена в знаменателе (1). Чтобы выделить целую часть, представим числитель в виде $2(x+1)-2$:
$\frac{2x}{x+1} = \frac{2(x+1) - 2}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x+1} - \frac{2}{x+1} = 2 - \frac{2}{x+1}$
Ответ: 2 - $\frac{2}{x+1}$

г) Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем $n-2$:
$\frac{m-n}{n-2} - \frac{m-2}{n-2} = \frac{(m-n) - (m-2)}{n-2}$
Раскрываем скобки в числителе, меняя знаки у вычитаемого:
$\frac{m-n-m+2}{n-2}$
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{2-n}{n-2}$
В числителе выносим -1 за скобки, чтобы получить выражение, противоположное знаменателю:
$\frac{-(n-2)}{n-2}$
Сокращаем дробь на $(n-2)$, при условии, что $n-2 \neq 0$:
$\frac{-\cancel{(n-2)}}{\cancel{n-2}} = -1$
Ответ: -1