Номер 1.128, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.128*. Найдите значение выражения $ \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^2} + \frac{4}{1+a^4} $ при $ a = \sqrt{3}. $

Для нахождения значения выражения при $a = \sqrt{3}$ сначала упростим его, выполняя сложение дробей по шагам.

1. Сложим первые две дроби:

Приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

$$ \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} = \frac{1(1+a) + 1(1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{1+a+1-a}{1-a^2} = \frac{2}{1-a^2} $$

После первого шага выражение принимает вид:

$$ \frac{2}{1-a^2} + \frac{2}{1+a^2} + \frac{4}{1+a^4} $$

2. Сложим получившуюся дробь со следующей:

Аналогично первому шагу, приведем дроби к общему знаменателю $(1-a^2)(1+a^2) = 1-a^4$.

$$ \frac{2}{1-a^2} + \frac{2}{1+a^2} = \frac{2(1+a^2) + 2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{2+2a^2+2-2a^2}{1-a^4} = \frac{4}{1-a^4} $$

Теперь выражение выглядит так:

$$ \frac{4}{1-a^4} + \frac{4}{1+a^4} $$

3. Выполним последнее сложение:

Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю $(1-a^4)(1+a^4) = 1-a^8$.

$$ \frac{4}{1-a^4} + \frac{4}{1+a^4} = \frac{4(1+a^4) + 4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{4+4a^4+4-4a^4}{1-a^8} = \frac{8}{1-a^8} $$

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{8}{1-a^8}$.

4. Подставим значение $a = \sqrt{3}$ в упрощенное выражение.

Предварительно вычислим $a^8$:

$$ a^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 $$

$$ a^4 = (a^2)^2 = 3^2 = 9 $$

$$ a^8 = (a^4)^2 = 9^2 = 81 $$

Теперь подставим найденное значение $a^8=81$ в итоговую дробь:

$$ \frac{8}{1-81} = \frac{8}{-80} = -\frac{1}{10} $$

Ответ: $-\frac{1}{10}$