Номер 3.208, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

$x + 3 \quad 2 - x \quad x + 2$

3.208. Решите систему неравенств

$\begin{cases} \frac{8-x}{x-10} \le \frac{2}{2-x}, \\ x^2 - 25 \ge 0. \end{cases}$

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $ \frac{8-x}{x-10} \le \frac{2}{2-x} $

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$ \frac{8-x}{x-10} - \frac{2}{2-x} \le 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого заметим, что $ 2-x = -(x-2) $. Тогда:

$ \frac{8-x}{x-10} + \frac{2}{x-2} \le 0 $

$ \frac{(8-x)(x-2) + 2(x-10)}{(x-10)(x-2)} \le 0 $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{8x - 16 - x^2 + 2x + 2x - 20}{(x-10)(x-2)} \le 0 $

$ \frac{-x^2 + 12x - 36}{(x-10)(x-2)} \le 0 $

Вынесем знак минус в числителе и свернем его по формуле квадрата разности:

$ \frac{-(x^2 - 12x + 36)}{(x-10)(x-2)} \le 0 $

$ \frac{-(x-6)^2}{(x-10)(x-2)} \le 0 $

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$ \frac{(x-6)^2}{(x-10)(x-2)} \ge 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

• Нуль числителя: $ x = 6 $. Так как множитель $ (x-6) $ стоит в четной степени (2), то при переходе через точку $ x=6 $ знак выражения меняться не будет. Точка $ x=6 $ включается в решение, так как неравенство нестрогое.
• Нули знаменателя: $ x = 10 $ и $ x = 2 $. Эти точки не включаются в решение (выколотые точки).

Отметим точки на числовой оси и определим знаки в каждом интервале.

Выбираем промежутки со знаком "+" и изолированную точку, где выражение равно нулю. Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, 2) \cup \{6\} \cup (10, +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ x^2 - 25 \ge 0 $

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$ (x-5)(x+5) \ge 0 $

Нули левой части: $ x = 5 $ и $ x = -5 $. Это парабола $ y=x^2-25 $ с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $ x $ левее меньшего корня и правее большего корня.

Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty) $.

3. Найдем решение системы неравенств

Теперь найдем пересечение множеств решений первого и второго неравенств:

$ ((-\infty, 2) \cup \{6\} \cup (10, +\infty)) \cap ((-\infty, -5] \cup [5, +\infty)) $

Для наглядности нанесем оба решения на общую числовую ось и найдем их пересечение.

Из рисунка видно, что пересечением являются:

• Промежуток $ (-\infty, -5] $
• Изолированная точка $ x=6 $
• Промежуток $ (10, +\infty) $

Объединив эти части, получим окончательный ответ.

Ответ: $ x \in (-\infty, -5] \cup \{6\} \cup (10, +\infty) $.