Номер 3.214, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

$x + 4 < 6 - x$

3.214*

Найдите сумму натуральных решений неравенства

$\frac{(x^2 - 10x + 21)(x^2 - 6x - 7)}{(x^2 + 5x + 6)(x^2 - 4)} \le 0.$

Для решения данного дробно-рационального неравенства необходимо разложить на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе, а затем применить метод интервалов.

1. Факторизация многочленов

Разложим каждый многочлен на линейные множители, найдя его корни:

• $x^2 - 10x + 21 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=3, x_2=7$. Следовательно, $x^2 - 10x + 21 = (x-3)(x-7)$.
• $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-1, x_2=7$. Следовательно, $x^2 - 6x - 7 = (x+1)(x-7)$.
• $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-2, x_2=-3$. Следовательно, $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$.
• $x^2 - 4$ разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

2. Преобразование неравенства

Подставим полученные разложения в исходное неравенство:

Сгруппируем одинаковые множители, чтобы учесть их кратность:

3. Решение методом интервалов

Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль (критические точки):

• Нули числителя (точки, где выражение равно 0): $x = -1, x = 3, x = 7$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки являются частью решения.
• Нули знаменателя (точки, где выражение не определено): $x = -3, x = -2, x = 2$. Эти точки должны быть исключены из решения (выколотые точки).

Отметим все точки на числовой оси и определим знаки выражения на получившихся интервалах. Важно учесть, что множители $(x-7)^2$ и $(x+2)^2$ всегда неотрицательны, поэтому при переходе через точки $x=7$ и $x=-2$ знак дроби не меняется.

Проанализировав знаки на интервалах, находим, что выражение отрицательно или равно нулю при следующих значениях $x$:

4. Нахождение суммы натуральных решений

Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Выберем натуральные числа из полученного множества решений:

• Из промежутка $(2, 3]$ натуральным решением является число $3$.
• Изолированная точка $\{7\}$ также является натуральным решением.

Таким образом, натуральные решения данного неравенства — это числа 3 и 7.

Сумма этих решений составляет: $3 + 7 = 10$.

Сумма натуральных решений неравенства: Ответ: 10