Номер 3.218, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.218. Представьте в виде дроби выражение

$\frac{1}{2x-y} - \frac{1}{2x+y} + \frac{4x}{4x^2-y^2}$

Для того чтобы представить данное выражение в виде дроби, необходимо привести все слагаемые к общему знаменателю.

1. Найдём общий знаменатель. Обратим внимание на знаменатель третьей дроби: $4x^2 - y^2$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$$

Таким образом, общий знаменатель для всех трёх дробей — это $(2x - y)(2x + y)$.

2. Приведём каждую дробь к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(2x + y)$, для второй — $(2x - y)$. Третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

$$ \frac{1}{2x - y} - \frac{1}{2x + y} + \frac{4x}{4x^2 - y^2} = \frac{1 \cdot (2x + y)}{(2x - y)(2x + y)} - \frac{1 \cdot (2x - y)}{(2x + y)(2x - y)} + \frac{4x}{(2x - y)(2x + y)} $$

3. Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним действия с их числителями:

$$ \frac{(2x + y) - (2x - y) + 4x}{(2x - y)(2x + y)} $$

4. Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:

$$ \frac{2x + y - 2x + y + 4x}{(2x - y)(2x + y)} = \frac{(2x - 2x) + (y + y) + 4x}{(2x - y)(2x + y)} = \frac{2y + 4x}{(2x - y)(2x + y)} $$

5. Упростим полученную дробь. В числителе можно вынести за скобки общий множитель 2:

$$ \frac{2(y + 2x)}{(2x - y)(2x + y)} = \frac{2(2x + y)}{(2x - y)(2x + y)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(2x + y)$:

$$ \frac{2}{2x - y} $$

Ответ: $\frac{2}{2x - y}$.