Номер 3.220, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.220. Постройте график функции $y = -x^2 + 4x - 5$. Найдите множество значений этой функции.

Постройте график функции $y = -x^2 + 4x - 5$.

1. Функция $y = -x^2 + 4x - 5$ является квадратичной, следовательно, её график — это парабола.

2. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{-4}{-2} = 2$.
Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:
$y_v = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(2, -1)$.

4. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
Пересечение с осью ординат (OY): подставим $x=0$ в уравнение.
$y(0) = -0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$.
Точка пересечения с осью OY — $(0, -5)$.
Пересечение с осью абсцисс (OX): решим уравнение $y=0$.
$-x^2 + 4x - 5 = 0$
$x^2 - 4x + 5 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, и график не пересекает ось OX.

5. Для построения графика следует нанести на координатную плоскость найденные точки: вершину $(2, -1)$, точку пересечения с OY $(0, -5)$, а также симметричную ей точку $(4, -5)$ относительно оси симметрии $x=2$. Затем соединить эти точки плавной кривой (параболой).

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветвями, направленными вниз, и проходящая через точки $(0, -5)$ и $(4, -5)$.

Найдите множество значений этой функции.

Множество значений функции — это проекция ее графика на ось ординат (OY).
Так как график функции — это парабола с ветвями, направленными вниз, ее наибольшее значение достигается в вершине.
Ордината вершины $y_v = -1$ является максимальным значением функции.
Все остальные значения функции меньше, чем $-1$.
Следовательно, множество значений функции — это все числа от $-\infty$ до $-1$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -1]$.