Номер 3.217, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.217. Решите уравнение $(2x - 3)(2x + 3) - (x - 2)^2 - 1 = 5x.$

Для решения данного уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения.
2. Привести подобные слагаемые.
3. Решить получившееся квадратное уравнение.

Исходное уравнение:

$(2x - 3)(2x + 3) - (x - 2)^2 - 1 = 5x$

1. Раскрываем скобки.

Первое слагаемое $(2x - 3)(2x + 3)$ является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(2x - 3)(2x + 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$

Второе слагаемое $(x - 2)^2$ является квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$

Подставляем раскрытые выражения обратно в уравнение:

$(4x^2 - 9) - (x^2 - 4x + 4) - 1 = 5x$

2. Упрощаем уравнение.

Раскрываем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$4x^2 - 9 - x^2 + 4x - 4 - 1 = 5x$

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(4x^2 - x^2) + 4x + (-9 - 4 - 1) = 5x$

$3x^2 + 4x - 14 = 5x$

3. Приводим уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$.

Переносим $5x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$3x^2 + 4x - 5x - 14 = 0$

$3x^2 - x - 14 = 0$

4. Решаем квадратное уравнение.

Коэффициенты уравнения: $a=3, b=-1, c=-14$.

Находим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Находим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Вычисляем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + 13}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{-(-1) - 13}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

5. Представляем ответ в требуемом виде.

Один из корней является неправильной дробью $\frac{7}{3}$. Выделим из нее целую часть:

$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Таким образом, корнями уравнения являются -2 и $2\frac{1}{3}$.

Первый корень Ответ: -2

Второй корень Ответ: $2\frac{1}{3}$