Номер 3.219, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.219. Решите уравнение

$\frac{x^2+3x}{x-2} = \frac{x-12}{2-x}$

Исходное уравнение:

$$ \frac{x^2+3x}{x-2} = \frac{x-12}{2-x} $$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю. Поэтому устанавливаем следующие ограничения:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x$ — любое число, кроме 2.

2. Преобразование уравнения.

Заметим, что знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $2 - x = -(x-2)$. Подставим это в правую часть уравнения:

$$ \frac{x^2+3x}{x-2} = \frac{x-12}{-(x-2)} $$

$$ \frac{x^2+3x}{x-2} = -\frac{x-12}{x-2} $$

Теперь перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$$ \frac{x^2+3x}{x-2} + \frac{x-12}{x-2} = 0 $$

3. Решение уравнения.

Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$$ \frac{(x^2+3x) + (x-12)}{x-2} = 0 $$

$$ \frac{x^2+4x-12}{x-2} = 0 $$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие $x-2 \neq 0$ уже учтено в ОДЗ.

Приравняем числитель к нулю:

$$ x^2+4x-12 = 0 $$

Это квадратное уравнение. Решим его, используя теорему Виета. Ищем два корня, сумма которых равна $-4$, а произведение равно $-12$.

$$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 \cdot x_2 = -12 \end{cases} $$

Подбором находим корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

4. Проверка корней.

Сравним полученные корни с ОДЗ ($x \neq 2$).

• Корень $x_1 = -6$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-6 \neq 2$.
• Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: -6