Номер 2, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Выберите систему уравнений, графическая иллюстрация которой представлена на рисунке 92:

а) $y = -x + 3,$
$xy = 16;$

б) $y = -x + 3,$
$x^2 + y^2 = 4;$

в) $y = x + 3,$
$x^2 - y^2 = 16;$

г) $x + y = 3,$
$x^2 + y^2 = 16;$

д) $x + y = -3,$
$x^2 + y^2 = 16.$

Рис. 92

Для того чтобы определить, какая система уравнений соответствует графической иллюстрации, необходимо составить уравнения для каждой из фигур, показанных на рисунке — окружности и прямой.

1. Определение уравнения окружности

На графике изображена окружность с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$. Радиус окружности $R$ можно определить по точкам ее пересечения с осями координат. Окружность проходит через точки $(4, 0)$, $(0, 4)$, $(-4, 0)$ и $(0, -4)$. Из этого следует, что радиус $R = 4$.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Подставляя координаты центра $(0, 0)$ и значение радиуса $R=4$, получаем:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 4^2$

Таким образом, уравнение окружности на рисунке: $x^2 + y^2 = 16$.

2. Определение уравнения прямой

Прямая на графике проходит через две точки, которые легко определить по сетке:

• Точка пересечения с осью $y$ (осью ординат): $(0, 3)$.
• Точка пересечения с осью $x$ (осью абсцисс): $(3, 0)$.

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $b$ — это ордината точки пересечения с осью $y$, а $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона).

Из точки $(0, 3)$ следует, что $b = 3$.

Угловой коэффициент $k$ можно рассчитать по двум точкам $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Используя точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$, получаем:

$k = \frac{0 - 3}{3 - 0} = \frac{-3}{3} = -1$

Подставляя $k = -1$ и $b = 3$ в уравнение прямой, получаем: $y = -x + 3$.

Это уравнение можно также записать в виде $x + y = 3$.

3. Анализ предложенных систем уравнений

Теперь сравним полученные нами уравнения ($x^2 + y^2 = 16$ и $x + y = 3$) с предложенными вариантами.

а) $\begin{cases} y = -x + 3, \\ xy = 16; \end{cases}$
Уравнение прямой $y = -x + 3$ верное, но уравнение $xy = 16$ задает гиперболу, а не окружность. Ответ: Неверно.

б) $\begin{cases} y = -x + 3, \\ x^2 + y^2 = 4; \end{cases}$
Уравнение прямой верное. Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с радиусом $R=2$, что не соответствует графику, где $R=4$. Ответ: Неверно.

в) $\begin{cases} y = x + 3, \\ x^2 - y^2 = 16; \end{cases}$
Уравнение прямой $y = x + 3$ неверно, так как наклон прямой на графике отрицательный. Уравнение $x^2 - y^2 = 16$ задает гиперболу. Ответ: Неверно.

г) $\begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 + y^2 = 16; \end{cases}$
Первое уравнение $x + y = 3$ эквивалентно $y = -x + 3$ и является верным уравнением прямой. Второе уравнение $x^2 + y^2 = 16$ является верным уравнением окружности. Эта система полностью соответствует графику. Ответ: Верно.

д) $\begin{cases} x + y = -3, \\ x^2 + y^2 = 16. \end{cases}$
Уравнение окружности верное. Уравнение прямой $x + y = -3$ (или $y = -x - 3$) неверно, так как прямая на графике пересекает ось $y$ в точке $3$, а не $-3$. Ответ: Неверно.

Итоговый вывод: Единственная система уравнений, которая точно описывает графическую иллюстрацию на рисунке 92, это система под буквой г).