Номер 3, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Решите уравнение, используя условие равенства дроби нулю:

а) $\frac{x+5}{x-1} = 0;$

б) $\frac{x^2-36}{x-6} = 0;$

в) $\frac{x^2-6x+8}{x-4} = 0;$

г) $\frac{x+2}{x^2-4} = 0.$

Условие, при котором дробь равна нулю, заключается в том, что её числитель должен быть равен нулю, а знаменатель при этом не должен быть равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$ \frac{A}{B} = 0 \iff \begin{cases} A = 0 \\ B \neq 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение, используя это правило.

а) Дано уравнение: $ \frac{x+5}{x-1} = 0 $.

Приравниваем числитель к нулю: $ x+5 = 0 $ $ x = -5 $

Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю при этом значении $x$: $ x - 1 \neq 0 $ $ -5 - 1 = -6 \neq 0 $

Условие выполняется, следовательно, $x = -5$ является корнем уравнения.

Ответ: -5

б) Дано уравнение: $ \frac{x^2-36}{x-6} = 0 $.

Приравниваем числитель к нулю и решаем уравнение: $ x^2 - 36 = 0 $ $ (x-6)(x+6) = 0 $ Отсюда получаем два возможных корня: $ x_1 = 6 $ и $ x_2 = -6 $.

Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю (область допустимых значений - ОДЗ): $ x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6 $

Сравниваем наши корни с ОДЗ. Корень $ x_1 = 6 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 6 $, поэтому он является посторонним. Корень $ x_2 = -6 $ удовлетворяет условию.

Ответ: -6

в) Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 6x + 8}{x-4} = 0 $.

Приравниваем числитель к нулю и решаем квадратное уравнение: $ x^2 - 6x + 8 = 0 $ По теореме Виета: $ \begin{cases} x_1 + x_2 = 6 \\ x_1 \cdot x_2 = 8 \end{cases} $ Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 4 $.

Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю (ОДЗ): $ x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4 $

Сравниваем наши корни с ОДЗ. Корень $ x_2 = 4 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 4 $, поэтому он является посторонним. Корень $ x_1 = 2 $ удовлетворяет условию.

Ответ: 2

г) Дано уравнение: $ \frac{x+2}{x^2-4} = 0 $.

Приравниваем числитель к нулю: $ x+2 = 0 $ $ x = -2 $

Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю (ОДЗ): $ x^2 - 4 \neq 0 $ $ (x-2)(x+2) \neq 0 $ $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.

Единственный возможный корень $ x = -2 $ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет