Номер 3.213, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.213*. Найдите сумму целых решений неравенства

$1 + \frac{2}{x+4} \le \frac{7}{6-x}$

Для нахождения суммы целых решений неравенства необходимо последовательно выполнить следующие шаги:

1. Преобразование исходного неравенства

   Исходное неравенство: $1 + \frac{2}{x+4} \le \frac{7}{6-x}$.

   Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -4$ и $x \neq 6$.

   Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x+4)(6-x)$:

   $1 + \frac{2}{x+4} - \frac{7}{6-x} \le 0$

   $\frac{(x+4)(6-x) + 2(6-x) - 7(x+4)}{(x+4)(6-x)} \le 0$

   После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в числителе получаем:

   $\frac{-x^2-7x+8}{(x+4)(6-x)} \le 0$

   Чтобы упростить выражение, умножим числитель на -1 (изменив знак неравенства) и вынесем -1 из скобки $(6-x)$ в знаменателе (снова изменив знак неравенства), чтобы получить положительные коэффициенты при старших степенях $x$:

   $\frac{x^2+7x-8}{(x+4)(x-6)} \le 0$

   Ответ: $\frac{x^2+7x-8}{(x+4)(x-6)} \le 0$.

2. Решение неравенства методом интервалов

   Находим нули числителя и знаменателя.
   Нули числителя: $x^2+7x-8=0 \Rightarrow x_1=1, x_2=-8$. Эти точки являются решениями (включительно).
   Нули знаменателя: $x+4=0 \Rightarrow x_3=-4$ и $x-6=0 \Rightarrow x_4=6$. Эти точки не являются решениями (исключаются).

   Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знаки выражения $\frac{(x-1)(x+8)}{(x+4)(x-6)}$ на интервалах. Выражение отрицательно или равно нулю на следующих промежутках:

   Ответ: $x \in [-8, -4) \cup [1, 6)$.

3. Нахождение целых решений

   Выбираем все целые числа из полученных промежутков.

   Из промежутка $[-8, -4)$ целыми решениями являются: -8, -7, -6, -5.

   Из промежутка $[1, 6)$ целыми решениями являются: 1, 2, 3, 4, 5.

   Ответ: $\{-8, -7, -6, -5, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

4. Вычисление суммы целых решений

   Складываем все найденные целые решения:

   $S = (-8) + (-7) + (-6) + (-5) + 1 + 2 + 3 + 4 + 5$

   $S = -26 + 15 = -11$

   Ответ: -11.