Номер 1, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Легендарная школа Пифагора среди прочих задач занималась нахождением целочисленных прямоугольных треугольников. В частности, пифагорейцы нашли бесконечные серии (не все) троек натуральных чисел $(a; b; c)$, для которых $a^2 + b^2 = c^2$. Существует ли целочисленный прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2019?

Да, такой треугольник существует. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы один пример такого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Согласно теореме Пифагора, для целочисленного (с целыми сторонами) прямоугольного треугольника должно выполняться равенство:

$a^2 + b^2 = c^2$, где $a, b, c$ — натуральные числа.

По условию задачи, один из катетов равен 2019. Пусть $a = 2019$. Нам нужно проверить, существуют ли натуральные числа $b$ и $c$, удовлетворяющие уравнению:

$2019^2 + b^2 = c^2$

Перенесем $b^2$ в правую часть уравнения и воспользуемся формулой разности квадратов:

$2019^2 = c^2 - b^2$

$2019^2 = (c - b)(c + b)$

Введем две переменные: $x = c - b$ и $y = c + b$. Поскольку $c > b > 0$, переменные $x$ и $y$ также являются натуральными числами, причем $y > x$. Наше уравнение принимает вид:

$xy = 2019^2$

Чтобы найти целые $b$ и $c$, выразим их через $x$ и $y$:
Из системы $\begin{cases} c - b = x \\ c + b = y \end{cases}$ получаем $c = \frac{x+y}{2}$ и $b = \frac{y-x}{2}$.

Для того чтобы $b$ и $c$ были целыми числами, $x+y$ и $y-x$ должны быть четными. Это справедливо тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ имеют одинаковую четность.

Рассмотрим произведение $xy = 2019^2$. Число 2019 нечетное, поэтому его квадрат также является нечетным числом. Произведение двух целых чисел $x$ и $y$ нечетно только в том случае, если оба числа нечетные. Таким образом, $x$ и $y$ должны быть нечетными, что гарантирует их одинаковую четность и, следовательно, целочисленность $b$ и $c$.

Задача свелась к поиску любой пары различных нечетных множителей $x$ и $y$ для числа $2019^2$. Выберем самую простую пару:

$x = 1$
$y = 2019^2 = 4076361$

Теперь вычислим $b$ и $c$:

$b = \frac{y-x}{2} = \frac{4076361 - 1}{2} = \frac{4076360}{2} = 2038180$

$c = \frac{x+y}{2} = \frac{1 + 4076361}{2} = \frac{4076362}{2} = 2038181$

Мы получили натуральные числа $b = 2038180$ и $c = 2038181$. Таким образом, мы нашли целочисленный прямоугольный треугольник со сторонами (2019, 2038180, 2038181), у которого один из катетов равен 2019.

Ответ: Да, существует.