Номер Исследовательское задание, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

Исследовательское задание. Можно ли найти множество значений функции, если:

а) построить ее график;

б) решить уравнение, задающее функцию относительно аргумента?

Попробуйте применить указанные приемы для нахождения множества значений функции $y = \frac{1}{|x|} - 3.$ Обобщите результат.

Исследовательское задание ставит вопрос о двух способах нахождения множества значений функции: графическом и аналитическом. Да, найти множество значений функции можно обоими способами. Применим эти приемы для функции $y = \frac{1}{|x|} - 3$.

Этот метод заключается в том, чтобы построить график функции $y = f(x)$ и определить, какие значения по оси ординат (оси OY) "покрываются" графиком. Множество этих значений и будет являться множеством значений (областью значений) функции.

Построим график функции $y = \frac{1}{|x|} - 3$ поэтапно:

1. Базовый график: Начнем с функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ (ось OY) и $y=0$ (ось OX).

2. Применение модуля: Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{|x|}$. Так как эта функция является четной ($y(-x) = \frac{1}{|-x|} = \frac{1}{|x|} = y(x)$), ее график симметричен относительно оси OY.

   • При $x > 0$, имеем $|x| = x$, и график совпадает с графиком $y = \frac{1}{x}$ (ветвь в I четверти).
   • Часть графика для $x < 0$ получается симметричным отражением части для $x > 0$ относительно оси OY.
   В результате обе ветви графика лежат выше оси OX. Множество значений функции $y = \frac{1}{|x|}$ есть интервал $(0; +\infty)$.

3. Сдвиг по оси OY: График функции $y = \frac{1}{|x|} - 3$ получается из графика $y = \frac{1}{|x|}$ сдвигом вниз на 3 единицы вдоль оси OY. При этом горизонтальная асимптота $y=0$ смещается в $y=-3$.

Анализируя полученный график, мы видим, что его ветви приближаются к горизонтальной асимптоте $y=-3$ снизу, но никогда ее не достигают, и уходят вверх в бесконечность при $x \to 0$. Таким образом, проекцией графика на ось OY является интервал от -3 до $+\infty$, не включая точку -3.

Ответ: Множество значений функции, найденное графическим методом, есть $(-3; +\infty)$.

Этот аналитический метод заключается в том, чтобы из уравнения $y = f(x)$ выразить аргумент $x$ через $y$. Множеством значений исходной функции будут все те значения $y$, при которых выражение для $x$ имеет смысл (то есть существует действительное число $x$).

Рассмотрим уравнение $y = \frac{1}{|x|} - 3$ и решим его относительно $x$.

1. Выразим слагаемое, содержащее $x$:
   $y + 3 = \frac{1}{|x|}$
2. Проанализируем полученное равенство. По определению модуля, $|x| \ge 0$. Так как $x$ находится в знаменателе, $x \neq 0$, следовательно, $|x| > 0$.
   Если $|x| > 0$, то и обратная величина $\frac{1}{|x|}$ также будет строго больше нуля.
3. Из этого следует, что левая часть уравнения тоже должна быть строго больше нуля:
   $y + 3 > 0$
4. Решим это неравенство относительно $y$:
   $y > -3$

Это и есть условие, при котором уравнение $y + 3 = \frac{1}{|x|}$ имеет решение для $x$. Если это условие выполняется ($y > -3$), то мы можем найти $|x|$:
$|x| = \frac{1}{y+3}$
Так как при $y > -3$ правая часть положительна, всегда существуют два действительных решения $x = \pm \frac{1}{y+3}$.
Следовательно, множество значений функции — это все $y$, удовлетворяющие неравенству $y > -3$.

Ответ: Множество значений функции, найденное аналитическим методом, есть $(-3; +\infty)$.

Обобщение результата

Оба метода, графический и аналитический, приводят к одному и тому же результату. Таким образом, найти множество значений функции можно как путем построения и анализа ее графика, так и путем решения уравнения, задающего функцию, относительно ее аргумента.

• Графический метод нагляден и интуитивно понятен. Он заключается в определении проекции графика функции на ось ординат. Его точность может зависеть от сложности функции и аккуратности построения графика.
• Аналитический метод является строгим и универсальным. Он заключается в нахождении области определения для обратной зависимости $x(y)$. Этот метод не требует построения графика и позволяет точно определить границы множества значений.

Выбор метода зависит от конкретной функции и поставленной задачи. Для функций, график которых легко построить с помощью известных преобразований, графический метод может быть быстрее. Для более сложных функций аналитический метод является более надежным.