Номер 3, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. На реке расположены населенные пункты $A$ и $B$. Одновременно из этих пунктов навстречу друг другу отправляются два одинаковых катера, обмениваются почтой и возвращаются обратно. Катер, вышедший из пункта $A$, возвращается обратно через 1 ч после выхода. Если бы этот катер отправился на 15 мин раньше катера, вышедшего из пункта $B$, то встреча произошла бы на равном расстоянии от обоих пунктов. Через какое время возвращается обратно катер, вышедший из пункта $B$?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пунктами A и B.
• $V_k$ — собственная скорость катеров (она одинакова для обоих).
• $V_r$ — скорость течения реки.

Поскольку в условии не указано, какой из пунктов находится выше по течению, необходимо рассмотреть два возможных случая, чтобы определить направление течения реки.

Анализ направления течения

Случай 1: Пункт А находится выше по течению (пункт B — ниже).

В этом случае катер из пункта A движется по течению (со скоростью $V_k + V_r$), а катер из B — против течения (со скоростью $V_k - V_r$).

Катера отправляются одновременно и встречаются через время $t_{встр} = \frac{S}{(V_k + V_r) + (V_k - V_r)} = \frac{S}{2V_k}$.

Катер из пункта A до места встречи проходит расстояние $S_A = (V_k + V_r) \cdot t_{встр}$. Затем он возвращается в пункт А против течения. Общее время его поездки $T_A$ складывается из времени движения до встречи и времени на обратный путь: $T_A = t_{встр} + \frac{S_A}{V_k - V_r} = \frac{S}{2V_k} + \frac{(V_k + V_r) \frac{S}{2V_k}}{V_k - V_r} = \frac{S}{2V_k} \left(1 + \frac{V_k + V_r}{V_k - V_r}\right) = \frac{S}{2V_k} \left(\frac{V_k - V_r + V_k + V_r}{V_k - V_r}\right) = \frac{S}{V_k - V_r}$.

По условию, $T_A = 1$ час, следовательно, время движения против течения на всем пути S равно 1 часу: $\frac{S}{V_k - V_r} = 1$ час.

Рассмотрим второе условие: катер из A выходит на 15 мин ($\frac{1}{4}$ часа) раньше, и встреча происходит на середине пути ($S/2$). Время движения катера A (по течению) $t'_A = \frac{S/2}{V_k + V_r}$, а катера B (против течения) $t'_B = \frac{S/2}{V_k - V_r}$. Так как катер из A вышел раньше, $t'_A = t'_B + \frac{1}{4}$.

$\frac{S/2}{V_k + V_r} = \frac{S/2}{V_k - V_r} + \frac{1}{4}$.

Подставим известное значение $\frac{S}{V_k - V_r} = 1$: $\frac{S/2}{V_k + V_r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Отсюда $\frac{S}{V_k + V_r} = \frac{3}{2} = 1.5$ часа.

Получилось, что время движения по течению (1.5 часа) больше времени движения против течения (1 час). Это физически невозможно, значит, этот случай неверный.

Случай 2: Пункт B находится выше по течению (пункт A — ниже).

Теперь катер из A движется против течения ($V_k - V_r$), а катер из B — по течению ($V_k + V_r$).

Аналогично первому случаю, найдем общее время движения катера из A: $T_A = \frac{S}{V_k + V_r}$.

По условию $T_A = 1$ час, значит, время движения по течению на всем пути S равно 1 часу: $\frac{S}{V_k + V_r} = 1$ час.

Рассмотрим второе условие (встреча на середине пути, катер A вышел на 15 мин раньше): Время движения катера A (против течения) $t'_A = \frac{S/2}{V_k - V_r}$, а катера B (по течению) $t'_B = \frac{S/2}{V_k + V_r}$. $t'_A = t'_B + \frac{1}{4} \implies \frac{S/2}{V_k - V_r} = \frac{S/2}{V_k + V_r} + \frac{1}{4}$.

Подставив $\frac{S}{V_k + V_r} = 1$, получим: $\frac{S/2}{V_k - V_r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Отсюда время движения против течения на всем пути S: $\frac{S}{V_k - V_r} = \frac{3}{2} = 1.5$ часа.

В этом случае время движения по течению (1 час) меньше времени движения против течения (1.5 часа), что является верным. Следовательно, пункт B находится выше по течению.

Расчет времени для катера из пункта B

Требуется найти полное время движения $T_B$ катера, вышедшего из пункта B. Он движется до места встречи по течению, а возвращается обратно против течения.

Расчет его полного времени аналогичен расчету для катера А в первом (неверном) случае: $T_B = \frac{S}{V_k - V_r}$.

Мы уже установили, что время движения на всем пути S против течения равно $\frac{3}{2}$ часа. Следовательно, $T_B = \frac{3}{2}$ часа.

Через какое время возвращается обратно катер, вышедший из пункта B? Ответ: 1$\frac{1}{2}$ часа (что составляет 1 час 30 минут).