Номер 4.121, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.121. Арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = 5n - 3$. Найдите:

a) $S_8$;

б) $S_{21}$;

в) $S_n$.

Данная арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена $a_n = 5n - 3$. Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии будем использовать формулу: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$ где $a_1$ — первый член прогрессии, а $a_n$ — n-й член.

Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$ в заданную формулу:
$a_1 = 5 \cdot 1 - 3 = 2$.

Чтобы найти сумму первых 8 членов ($S_8$), нам нужен 8-й член прогрессии ($a_8$). Найдем его:
$a_8 = 5 \cdot 8 - 3 = 40 - 3 = 37$.

Теперь можем вычислить сумму $S_8$:
$S_8 = \frac{a_1 + a_8}{2} \cdot 8 = \frac{2 + 37}{2} \cdot 8 = \frac{39}{2} \cdot 8 = 39 \cdot 4 = 156$.
Ответ: 156.

Аналогично, для нахождения суммы первых 21 члена ($S_{21}$) сначала вычислим 21-й член прогрессии ($a_{21}$):
$a_{21} = 5 \cdot 21 - 3 = 105 - 3 = 102$.

Теперь вычислим сумму $S_{21}$:
$S_{21} = \frac{a_1 + a_{21}}{2} \cdot 21 = \frac{2 + 102}{2} \cdot 21 = \frac{104}{2} \cdot 21 = 52 \cdot 21 = 1092$.
Ответ: 1092.

Для вывода общей формулы для $S_n$ подставим выражения для $a_1=2$ и $a_n=5n-3$ в формулу суммы:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2 + (5n - 3)}{2} \cdot n = \frac{5n - 1}{2} \cdot n$.

Формула для суммы первых $n$ членов данной прогрессии имеет вид:
$S_n = \frac{n(5n - 1)}{2}$.
Ответ: $S_n = \frac{n(5n - 1)}{2}$.