Номер 4.126, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.126. Для арифметической прогрессии ($a_n$) известно, что $d=-7$ и $a_{16}=-9$. Найдите $a_{20}$ и $S_{20}$.

Для решения данной задачи используются стандартные формулы для арифметической прогрессии.

Дано:

• Разность арифметической прогрессии: $d = -7$
• Шестнадцатый член прогрессии: $a_{16} = -9$

Необходимо найти двадцатый член прогрессии ($a_{20}$) и сумму первых двадцати её членов ($S_{20}$).

a₂₀

Для нахождения $a_{20}$, зная $a_{16}$, можно использовать формулу n-го члена арифметической прогрессии, выраженную через другой член прогрессии:

$a_n = a_m + (n-m)d$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $n=20$, $m=16$, $a_{16}=-9$ и $d=-7$.

$a_{20} = a_{16} + (20 - 16)d$

$a_{20} = -9 + 4 \cdot (-7)$

$a_{20} = -9 - 28$

$a_{20} = -37$

Ответ: -37.

S₂₀

Для вычисления суммы первых n членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Мы уже нашли $a_{20} = -37$. Однако для использования этой формулы нам необходимо найти первый член прогрессии $a_1$.

Найдем $a_1$ из формулы n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, используя данные для $a_{16}$:

$a_{16} = a_1 + (16-1)d$

Подставим известные значения:

$-9 = a_1 + 15 \cdot (-7)$

$-9 = a_1 - 105$

Отсюда выразим $a_1$:

$a_1 = 105 - 9$

$a_1 = 96$

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчета $S_{20}$: $a_1 = 96$, $a_{20} = -37$ и $n = 20$.

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20$

$S_{20} = \frac{96 + (-37)}{2} \cdot 20$

$S_{20} = \frac{59}{2} \cdot 20$

$S_{20} = 59 \cdot 10$

$S_{20} = 590$

Ответ: 590.