Номер 4.131, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.131. Сколько нужно взять последовательных натуральных чисел, кратных 3, чтобы их сумма была больше 165?

Последовательные натуральные числа, кратные 3, представляют собой арифметическую прогрессию. Обозначим ее члены как $a_n$.

Первый член этой прогрессии, являющийся наименьшим натуральным числом, кратным 3, это $a_1 = 3$.

Поскольку мы берем последовательные числа, кратные 3, разность прогрессии $d$ также равна 3 (например, $6-3=3$, $9-6=3$ и т.д.).

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу значения $a_1=3$ и $d=3$:

$S_n = \frac{2 \cdot 3 + 3(n-1)}{2} \cdot n = \frac{6 + 3n - 3}{2} \cdot n = \frac{3n + 3}{2} \cdot n = \frac{3n(n+1)}{2}$

Согласно условию задачи, сумма этих чисел должна быть больше 165. На основе этого составим неравенство:

$S_n > 165$

$\frac{3n(n+1)}{2} > 165$

Теперь решим это неравенство, чтобы найти $n$:

$3n(n+1) > 165 \cdot 2$

$3n(n+1) > 330$

$n(n+1) > \frac{330}{3}$

$n(n+1) > 110$

Нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству. Можно решить это методом подбора, ища два последовательных целых числа, произведение которых больше 110.

• При $n=9$: $9 \cdot (9+1) = 9 \cdot 10 = 90$, что меньше 110.
• При $n=10$: $10 \cdot (10+1) = 10 \cdot 11 = 110$, что не больше 110.
• При $n=11$: $11 \cdot (11+1) = 11 \cdot 12 = 132$, что больше 110.

Таким образом, наименьшее количество чисел, которое нужно взять, чтобы их сумма была больше 165, равно 11.

4.131. Ответ: 11