Номер 4.134, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.134. Назовите первое и последнее трехзначное число, кратное 9. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 9.

Чтобы найти первое (наименьшее) трехзначное число, кратное 9, рассмотрим наименьшее трехзначное число — 100. Разделим его на 9, чтобы найти ближайшее меньшее кратное:
$100 \div 9 = 11$ (остаток 1)
Это означает, что число $9 \times 11 = 99$ кратно 9. Следующее за ним кратное 9 будет первым трехзначным числом, которое нам нужно:
$99 + 9 = 108$
Таким образом, первое трехзначное число, кратное 9, — это 108.

Чтобы найти последнее (наибольшее) трехзначное число, кратное 9, рассмотрим наибольшее трехзначное число — 999. Проверим его делимость на 9 с помощью признака делимости: сумма цифр числа должна быть кратна 9.
Сумма цифр числа 999: $9 + 9 + 9 = 27$.
Поскольку 27 делится на 9 ($27 \div 9 = 3$), число 999 также делится на 9.
Таким образом, последнее трехзначное число, кратное 9, — это 999.

Ответ: первое число 108, последнее число 999.

Последовательность трехзначных чисел, кратных 9 (108, 117, 126, ..., 999), образует арифметическую прогрессию. Для нахождения ее суммы воспользуемся соответствующими формулами.
Параметры прогрессии:

• Первый член прогрессии $a_1 = 108$.
• Последний член прогрессии $a_n = 999$.
• Разность прогрессии $d = 9$.

Сначала найдем количество членов ($n$) в этой прогрессии по формуле n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$999 = 108 + (n-1) \cdot 9$
$999 - 108 = (n-1) \cdot 9$
$891 = (n-1) \cdot 9$
$n - 1 = \frac{891}{9}$
$n - 1 = 99$
$n = 100$
Всего в последовательности 100 чисел.

Теперь найдем сумму этих чисел ($S_n$) по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$.
$S_{100} = \frac{100 \cdot (108 + 999)}{2}$
$S_{100} = \frac{100 \cdot 1107}{2}$
$S_{100} = 50 \cdot 1107$
$S_{100} = 55350$

Ответ: 55350.