Номер 4.138, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.138. Найдите сумму тридцати шести первых членов арифметической прогрессии, если ее разность равна $2$, а пятый член прогрессии в $4$ раза меньше второго члена.

Пусть ($a_n$) - данная арифметическая прогрессия. По условию задачи, ее разность $d=2$. Также известно, что пятый член прогрессии ($a_5$) в 4 раза меньше второго ($a_2$), что можно записать в виде уравнения: $a_2 = 4a_5$. Нам необходимо найти сумму первых тридцати шести членов этой прогрессии, обозначаемую как $S_{36}$.

Для нахождения суммы нам нужен первый член прогрессии $a_1$. Мы можем найти его, используя данные нам условия. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим второй и пятый члены прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

Подставим известное значение разности $d=2$ в эти выражения:

$a_2 = a_1 + 2$

$a_5 = a_1 + 4 \cdot 2 = a_1 + 8$

Теперь подставим эти выражения в исходное соотношение $a_2 = 4a_5$ и решим полученное уравнение относительно $a_1$:

$a_1 + 2 = 4(a_1 + 8)$

$a_1 + 2 = 4a_1 + 32$

$4a_1 - a_1 = 2 - 32$

$3a_1 = -30$

$a_1 = -10$

Теперь, когда мы знаем первый член $a_1 = -10$ и разность $d=2$, мы можем найти сумму первых тридцати шести членов ($S_{36}$) по формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим наши значения $n=36$, $a_1=-10$ и $d=2$ в формулу:

$S_{36} = \frac{2 \cdot (-10) + (36-1) \cdot 2}{2} \cdot 36$

$S_{36} = \frac{-20 + 35 \cdot 2}{2} \cdot 36$

$S_{36} = \frac{-20 + 70}{2} \cdot 36$

$S_{36} = \frac{50}{2} \cdot 36$

$S_{36} = 25 \cdot 36 = 900$

Ответ: 900