Номер 4.141, страница 232 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.141* Сумма 40 первых членов арифметической прогрессии равна 340, а сумма 39 первых ее членов равна 325. Найдите разность прогрессии.

Обозначим сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии как $S_n$, $n$-й член как $a_n$, и разность прогрессии как $d$.

По условию задачи дано:

• Сумма первых 40 членов: $S_{40} = 340$
• Сумма первых 39 членов: $S_{39} = 325$

Разница между суммой 40 первых членов и суммой 39 первых членов представляет собой 40-й член прогрессии ($a_{40}$).

$a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$

Следовательно, для $n=40$:

$a_{40} = S_{40} - S_{39} = 340 - 325 = 15$

Теперь у нас есть значение 40-го члена прогрессии. Мы можем использовать формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + d(n-1)$ и формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ для нахождения разности $d$.

Из формулы $n$-го члена для $a_{40}$ получаем первое уравнение:

$a_{40} = a_1 + (40-1)d \Rightarrow 15 = a_1 + 39d$

Из формулы суммы для $S_{39}$ получаем второе уравнение:

$S_{39} = \frac{2a_1 + (39-1)d}{2} \cdot 39 = 325$

Упростим второе уравнение:

$\frac{2a_1 + 38d}{2} \cdot 39 = 325$

$(a_1 + 19d) \cdot 39 = 325$

$a_1 + 19d = \frac{325}{39}$

Так как $325 = 25 \cdot 13$ и $39 = 3 \cdot 13$, дробь можно сократить:

$a_1 + 19d = \frac{25}{3}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} a_1 + 39d = 15 \\ a_1 + 19d = \frac{25}{3} \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $d$:

$(a_1 + 39d) - (a_1 + 19d) = 15 - \frac{25}{3}$

$20d = \frac{45}{3} - \frac{25}{3}$

$20d = \frac{20}{3}$

$d = \frac{20}{3} \div 20 = \frac{20}{3 \cdot 20} = \frac{1}{3}$

Разность прогрессии. Ответ: $d = \frac{1}{3}$.