Номер 4.135, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.135. Запишите формулу натурального числа, которое при делении на 7 дает в остатке 3. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 153, которые при делении на 7 дают в остатке 3.

Запишите формулу натурального числа, которое при делении на 7 дает в остатке 3

По определению деления с остатком, любое натуральное число a, которое при делении на делитель d дает в частном k и в остатке r, можно представить в виде формулы:
$a = d \cdot k + r$

В данном случае делитель $d=7$, а остаток $r=3$. Подставляя эти значения, получаем:
$a = 7k + 3$

Так как a является натуральным числом, оно должно быть положительным: $a > 0$. Следовательно, $7k + 3 > 0$, что означает $7k > -3$, или $k > -3/7$. Поскольку частное k должно быть целым числом, его наименьшее возможное значение равно 0. Таким образом, k может быть любым целым неотрицательным числом (т.е., $k \in \{0, 1, 2, ...\}$).

Ответ: $a = 7k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 153, которые при делении на 7 дают в остатке 3

Все натуральные числа, которые при делении на 7 дают в остатке 3, образуют арифметическую прогрессию. Нам нужно найти сумму членов этой прогрессии, которые не превосходят 153.

1. Первый член прогрессии ($a_1$):
Найдем наименьшее такое натуральное число, используя формулу $a = 7k + 3$ при наименьшем возможном $k=0$:
$a_1 = 7 \cdot 0 + 3 = 3$

2. Разность прогрессии ($d$):
Каждый следующий член прогрессии больше предыдущего на 7, следовательно, разность прогрессии $d=7$.

3. Последний член прогрессии ($a_n$):
Найдем наибольшее такое число, которое не превосходит 153.
$a_n = 7k + 3 \le 153$
$7k \le 150$
$k \le \frac{150}{7}$
$k \le 21\frac{3}{7}$
Наибольшее целое значение, которое может принимать $k$, равно 21. Найдем соответствующий член прогрессии:
$a_n = 7 \cdot 21 + 3 = 147 + 3 = 150$

4. Количество членов прогрессии ($n$):
Поскольку $k$ принимает значения от 0 до 21 включительно, общее количество членов прогрессии равно:
$n = 21 - 0 + 1 = 22$

5. Сумма прогрессии ($S_n$):
Для нахождения суммы арифметической прогрессии используем формулу:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим найденные значения $a_1=3$, $a_n=150$ и $n=22$:
$S_{22} = \frac{3 + 150}{2} \cdot 22 = \frac{153}{2} \cdot 22 = 153 \cdot 11 = 1683$

Ответ: 1683.