Номер 4.140, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.140*: Сумма членов арифметической прогрессии с третьего по тринадцатый равна 55, $a_n = 5$. Найдите $n$.

Дана арифметическая прогрессия $\{a_k\}$. По условию, сумма ее членов с третьего по тринадцатый включительно равна 55. Найдем количество членов в этом промежутке:

$$13 - 3 + 1 = 11 \text{ членов}$$

Воспользуемся формулой суммы для участка арифметической прогрессии. Сумма $N$ членов от $a_m$ до $a_k$ равна произведению их среднего арифметического на количество членов:

$$S_{m,k} = \frac{a_m + a_k}{2} \cdot N$$

Подставим известные данные: $m=3$, $k=13$, $N=11$, $S_{3,13}=55$.

$$55 = \frac{a_3 + a_{13}}{2} \cdot 11$$

Разделим обе части уравнения на 11, чтобы найти среднее арифметическое значение членов $a_3$ и $a_{13}$:

$$5 = \frac{a_3 + a_{13}}{2}$$

В арифметической прогрессии среднее арифметическое двух членов $a_m$ и $a_k$ равно члену, стоящему ровно посередине между ними, т.е. члену с индексом $\frac{m+k}{2}$. В нашем случае индекс среднего члена равен:

$$\frac{3 + 13}{2} = 8$$

Это означает, что восьмой член прогрессии, $a_8$, равен 5:

$$a_8 = 5$$

По условию задачи также известно, что $n$-й член прогрессии равен 5:

$$a_n = 5$$

Сравнивая два этих результата, мы получаем равенство $a_n = a_8$. Это равенство выполняется, если их индексы равны, то есть $n=8$.

(Примечание: Равенство $a_n = a_8$ также выполняется, если разность прогрессии $d=0$. В этом случае все члены прогрессии равны 5, и $n$ могло бы быть любым натуральным числом. Однако, формулировка задачи "Найдите n" подразумевает единственное решение, что позволяет сделать вывод, что $d \neq 0$.)

Ответ: 8