Номер 4.143, страница 232 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.143*. Сумма пятнадцати первых членов арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, больше 333, но меньше 396. Найдите восьмой член этой прогрессии, если известно, что он кратен четырем.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, все члены которой являются натуральными числами. По условию, сумма ее первых пятнадцати членов $S_{15}$ удовлетворяет неравенству $333 < S_{15} < 396$.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

В нашем случае $n=15$:$S_{15} = \frac{2a_1 + (15-1)d}{2} \cdot 15 = \frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = \frac{2(a_1 + 7d)}{2} \cdot 15 = (a_1 + 7d) \cdot 15$.

Формула восьмого члена прогрессии: $a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$.

Сравнивая два полученных выражения, видим, что сумма первых пятнадцати членов связана с восьмым членом следующим образом:$S_{15} = 15 \cdot a_8$.

Используем данное в условии неравенство для $S_{15}$:$333 < S_{15} < 396$.

Подставим в него выражение $S_{15} = 15 \cdot a_8$:$333 < 15 \cdot a_8 < 396$.

Чтобы найти границы для $a_8$, разделим все части этого двойного неравенства на 15:$\frac{333}{15} < a_8 < \frac{396}{15}$.

Теперь преобразуем полученные неправильные дроби в смешанные числа, чтобы выделить их целые части:

Левая граница: $\frac{333}{15} = 22\frac{3}{15} = 22\frac{1}{5}$. Целая часть этой дроби: 22.

Правая граница: $\frac{396}{15} = 26\frac{6}{15} = 26\frac{2}{5}$. Целая часть этой дроби: 26.

Таким образом, восьмой член прогрессии $a_8$ должен удовлетворять неравенству:$22\frac{1}{5} < a_8 < 26\frac{2}{5}$.

Из условия задачи нам известно, что:

1. Все члены прогрессии — натуральные числа, значит, $a_8$ — натуральное число.
2. Восьмой член $a_8$ кратен четырем.

Из неравенства $22\frac{1}{5} < a_8 < 26\frac{2}{5}$ следует, что $a_8$ может быть одним из следующих целых чисел: 23, 24, 25, 26.

Выберем из этого списка число, которое кратно четырем:

• 23 не кратно 4.
• 24 кратно 4, так как $24 = 4 \cdot 6$.
• 25 не кратно 4.
• 26 не кратно 4.

Единственное значение, которое удовлетворяет всем условиям задачи, это $a_8=24$.

Проверка: если $a_8=24$, то $S_{15}=15 \cdot 24 = 360$, что удовлетворяет условию $333 < 360 < 396$. Существование такой прогрессии, состоящей из натуральных чисел, также возможно (например, при $a_1=17$ и $d=1$).

Ответ: 24.