Номер 4.149, страница 232 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.149. Какой формулой можно воспользоваться, чтобы найти сумму, если ее слагаемые — последовательные члены арифметической прогрессии:

a) $2+4+6+...+96+98+100$;

б) $12+16+20+...+88+92+96$?

Найдите эту сумму.

Для нахождения суммы, если ее слагаемые являются последовательными членами арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

где $S_n$ — искомая сумма, $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — последний член прогрессии, а $n$ — количество членов в последовательности.

Чтобы использовать эту формулу, сначала нужно определить количество членов $n$ по формуле $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $d$ — разность прогрессии.

а) 2 + 4 + 6 + ... + 96 + 98 + 100;

В данном случае мы имеем дело с арифметической прогрессией, у которой:

• Первый член $a_1 = 2$.
• Последний член $a_n = 100$.
• Разность прогрессии $d = 4 - 2 = 2$.

1. Найдем количество членов $n$ в этой прогрессии:

$100 = 2 + (n-1) \cdot 2$

$98 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = \frac{98}{2} = 49$

$n = 49 + 1 = 50$

Итак, в последовательности 50 членов.

2. Теперь вычислим сумму, используя формулу суммы:

$S_{50} = \frac{2 + 100}{2} \cdot 50 = \frac{102}{2} \cdot 50 = 51 \cdot 50 = 2550$

Ответ: 2550

б) 12 + 16 + 20 + ... + 88 + 92 + 96?

Это также арифметическая прогрессия со следующими параметрами:

• Первый член $a_1 = 12$.
• Последний член $a_n = 96$.
• Разность прогрессии $d = 16 - 12 = 4$.

1. Найдем количество членов $n$:

$96 = 12 + (n-1) \cdot 4$

$84 = (n-1) \cdot 4$

$n-1 = \frac{84}{4} = 21$

$n = 21 + 1 = 22$

Таким образом, в последовательности 22 члена.

2. Вычислим сумму:

$S_{22} = \frac{12 + 96}{2} \cdot 22 = \frac{108}{2} \cdot 22 = 54 \cdot 22 = 1188$

Ответ: 1188