Номер 4.155, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.155. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(\$x_n\$)$, если известно, что $\$x_9 = 20\$, \$S_9 = 123\$.

Для нахождения первого члена $x_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии $(x_n)$ воспользуемся стандартными формулами.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n$.

По условию задачи нам дано: $n=9$, $x_9 = 20$, $S_9 = 123$.

первый член:
Для нахождения первого члена $x_1$ воспользуемся формулой суммы, подставив в нее известные значения:

$S_9 = \frac{x_1 + x_9}{2} \cdot 9$

$123 = \frac{x_1 + 20}{2} \cdot 9$

Теперь решим это уравнение относительно $x_1$. Сначала умножим обе части на 2 и разделим на 9:

$\frac{123 \cdot 2}{9} = x_1 + 20$

$\frac{246}{9} = x_1 + 20$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{82}{3} = x_1 + 20$

Теперь найдем $x_1$:

$x_1 = \frac{82}{3} - 20 = \frac{82}{3} - \frac{60}{3} = \frac{22}{3}$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$x_1 = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}$

Ответ: 7$ \frac{1}{3}$.

разность:
Для нахождения разности $d$ воспользуемся формулой n-го члена, подставив в нее известные значения $x_9=20$ и найденное значение $x_1=\frac{22}{3}$:

$x_9 = x_1 + (9-1)d$

$20 = \frac{22}{3} + 8d$

Решим уравнение относительно $d$:

$8d = 20 - \frac{22}{3}$

$8d = \frac{60}{3} - \frac{22}{3}$

$8d = \frac{38}{3}$

$d = \frac{38}{3 \cdot 8} = \frac{38}{24}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$d = \frac{19}{12}$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$d = \frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$

Ответ: 1$ \frac{7}{12}$.