Номер 4.157, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.157. В арифметической прогрессии $(c_n)$ известно, что $c_3 = 12$, $c_{17} = 54$. Найдите $S_{20}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d$, где $c_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Исходя из условий, что $c_3 = 12$ и $c_{17} = 54$, составим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($c_1$ и $d$): $$ \begin{cases} c_3 = c_1 + (3-1)d = c_1 + 2d = 12 \\ c_{17} = c_1 + (17-1)d = c_1 + 16d = 54 \end{cases} $$

Для нахождения разности прогрессии $d$ вычтем первое уравнение из второго: $$ (c_1 + 16d) - (c_1 + 2d) = 54 - 12 $$ $$ 14d = 42 $$ $$ d = \frac{42}{14} = 3 $$ Разность арифметической прогрессии равна 3.

Теперь найдем первый член прогрессии $c_1$, подставив найденное значение $d=3$ в первое уравнение системы ($c_1 + 2d = 12$): $$ c_1 + 2 \cdot 3 = 12 $$ $$ c_1 + 6 = 12 $$ $$ c_1 = 12 - 6 = 6 $$ Первый член прогрессии равен 6.

Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n$ можно найти по формуле: $$ S_n = \frac{2c_1 + d(n-1)}{2} \cdot n $$ Нам необходимо найти сумму первых 20 членов ($S_{20}$). Подставим известные значения $n=20$, $c_1=6$, $d=3$: $$ S_{20} = \frac{2 \cdot 6 + 3(20-1)}{2} \cdot 20 $$ $$ S_{20} = \frac{12 + 3 \cdot 19}{2} \cdot 20 $$ $$ S_{20} = (12 + 57) \cdot 10 $$ $$ S_{20} = 69 \cdot 10 $$ $$ S_{20} = 690 $$

S₂₀ Ответ: 690.