Номер 4.159, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.159. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6 и не больших 162.

Данная задача сводится к нахождению суммы членов арифметической прогрессии. Натуральные числа, кратные 6, образуют арифметическую прогрессию, где каждый следующий член больше предыдущего на 6.

Определим параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 6.
  $a_1 = 6$
• Разность прогрессии ($d$) равна 6.
  $d = 6$
• Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее число, которое не больше 162 и кратно 6. Чтобы найти его, проверим, делится ли 162 на 6.
  $162 \div 6 = 27$
  Поскольку 162 делится на 6 без остатка, оно и является последним членом нашей прогрессии.
  $a_n = 162$

Теперь необходимо найти количество членов в этой прогрессии ($n$). Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим известные значения в формулу:
$162 = 6 + (n-1) \cdot 6$

Решим это уравнение относительно $n$:
$162 - 6 = (n-1) \cdot 6$
$156 = (n-1) \cdot 6$
$n - 1 = \frac{156}{6}$
$n - 1 = 26$
$n = 26 + 1 = 27$

Итак, в последовательности 27 чисел.

Для вычисления суммы всех этих чисел ($S_n$) используем формулу суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения $a_1 = 6$, $a_n = 162$ и $n = 27$:
$S_{27} = \frac{6 + 162}{2} \cdot 27$
$S_{27} = \frac{168}{2} \cdot 27$
$S_{27} = 84 \cdot 27$
$S_{27} = 2268$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 6 и не больших 162, равна 2268.

Ответ: 2268