Номер 4.164, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.164. Упростите выражение $a - \frac{a^2 - 5a}{a+1} \cdot \frac{1}{a-5}$.

Для упрощения данного выражения $a - \frac{a^2-5a}{a+1} \cdot \frac{1}{a-5}$ необходимо выполнить действия в правильном порядке.

Область допустимых значений переменной $a$ определяется из условий, что знаменатели не равны нулю: $a+1 \neq 0$ и $a-5 \neq 0$. Следовательно, $a \neq -1$ и $a \neq 5$.

1. Выполним умножение дробей:

$$ \frac{a^2-5a}{a+1} \cdot \frac{1}{a-5} $$

Вынесем общий множитель $a$ в числителе первой дроби:

$$ \frac{a(a-5)}{a+1} \cdot \frac{1}{a-5} $$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(a-5)$:

$$ \frac{a\cancel{(a-5)}}{a+1} \cdot \frac{1}{\cancel{a-5}} = \frac{a}{a+1} $$

2. Выполним вычитание:

Подставим результат первого действия в исходное выражение:

$$ a - \frac{a}{a+1} $$

Приведем выражение к общему знаменателю $(a+1)$:

$$ \frac{a(a+1)}{a+1} - \frac{a}{a+1} = \frac{a(a+1) - a}{a+1} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{a^2 + a - a}{a+1} = \frac{a^2}{a+1} $$

3. Выделение целой части из неправильной дроби:

Мы получили неправильную рациональную дробь, так как степень многочлена в числителе (2) больше степени многочлена в знаменателе (1). Выделим целую часть. Для этого добавим и вычтем 1 в числителе, чтобы использовать формулу разности квадратов:

$$ \frac{a^2}{a+1} = \frac{a^2 - 1 + 1}{a+1} = \frac{(a^2 - 1) + 1}{a+1} $$

Разложим $a^2-1$ как $(a-1)(a+1)$ и разделим дробь на две:

$$ \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} + \frac{1}{a+1} = a - 1 + \frac{1}{a+1} $$

Ответ: $a - 1 + \frac{1}{a+1}$.