Номер 4.168, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.168. Найдите координаты точки, симметричной точке A($-3$; $5$) относительно оси симметрии параболы

$y = 2x^2 - 8x + 1.$

Для того чтобы найти координаты точки, симметричной точке $A(-3; 5)$ относительно оси симметрии параболы, необходимо сначала найти уравнение этой оси.

Уравнение параболы задано в виде $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае, $y = 2x^2 - 8x + 1$, где коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -8$, $c = 1$.

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Абсцисса вершины $x_0$ (и уравнение оси симметрии) находится по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Подставим значения коэффициентов в формулу: $x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Таким образом, ось симметрии параболы — это прямая $x = 2$.

Теперь найдем координаты точки $A'$, симметричной точке $A(-3; 5)$ относительно прямой $x = 2$. При симметрии относительно вертикальной прямой $x = \text{const}$ ордината (координата $y$) точки не меняется. Следовательно, ордината точки $A'$ будет такой же, как и у точки $A$, то есть $y' = 5$.

Абсцисса (координата $x$) точки $A'$ находится из условия, что ось симметрии $x=2$ является серединой отрезка, соединяющего точки $A$ и $A'$. Это значит, что абсцисса оси симметрии является средним арифметическим абсцисс точек $A$ и $A'$. Пусть координаты точки $A'$ равны $(x'; y')$. Тогда: $\frac{x_A + x'}{2} = 2$

Подставим известную абсциссу точки $A$, $x_A = -3$: $\frac{-3 + x'}{2} = 2$

Решим это уравнение относительно $x'$: $-3 + x' = 2 \cdot 2$
$-3 + x' = 4$
$x' = 4 + 3$
$x' = 7$

Следовательно, координаты симметричной точки $A'$ равны (7; 5).

Ответ: (7; 5).