Номер 4.167, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.167. Решите систему неравенств

$\begin{cases} 7x > x^2, \\ 16x^2 < 9. \end{cases}$

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных множеств решений.

1. Решим первое неравенство: $7x > x^2$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$7x - x^2 > 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 7x < 0$

Разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобку:

$x(x - 7) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $x(x - 7) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 7x$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 7x < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (0; 7)$.

2. Решим второе неравенство: $16x^2 < 9$

Перенесем 9 в левую часть:

$16x^2 - 9 < 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(4x)^2 - 3^2 < 0$

$(4x - 3)(4x + 3) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $(4x - 3)(4x + 3) = 0$ являются $x_1 = \frac{3}{4}$ и $x_2 = -\frac{3}{4}$. Аналогично первому случаю, решение неравенства находится между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\frac{3}{4}; \frac{3}{4})$.

3. Найдем решение системы

Решением системы является пересечение найденных интервалов:

$x \in (0; 7) \cap (-\frac{3}{4}; \frac{3}{4})$

На числовой прямой это соответствует общему промежутку, который начинается с $\max(0, -\frac{3}{4}) = 0$ и заканчивается $\min(7, \frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$.

Итоговое решение системы:

4.167. Ответ: $x \in (0; \frac{3}{4})$.