вопрос 1, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. В геометрической прогрессии $(b_n)$ $n$-й член вычисляется по формуле:

а) $b_n = b_1 \cdot q;$

б) $b_n = b_1 \cdot q^n;$

в) $b_n = b_1 + (n - 1)q;$

г) $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$

Выберите правильный ответ.

Для того чтобы выбрать правильную формулу для n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$, необходимо вспомнить её определение и вывести соответствующую формулу.

Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное число $q$. Это число $q$ называется знаменателем геометрической прогрессии.

Выведем формулу для n-го члена. Пусть $b_1$ — первый член прогрессии.

• Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = b_1 \cdot q^{2-1}$
• Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2 = b_1 \cdot q^{3-1}$
• Четвёртый член: $b_4 = b_3 \cdot q = (b_1 \cdot q^2) \cdot q = b_1 \cdot q^3 = b_1 \cdot q^{4-1}$

Наблюдая за закономерностью, мы видим, что показатель степени у знаменателя $q$ для n-го члена равен $n-1$. Таким образом, общая формула для n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид:

Теперь проанализируем предложенные в задании варианты:

• а) $b_n = b_1 \cdot q$ — неверно. Эта формула определяет только второй член прогрессии ($b_2$), а не произвольный n-й член.
• б) $b_n = b_1 \cdot q^n$ — неверно. Если подставить $n=1$, мы получим $b_1 = b_1 \cdot q^1$, что подразумевает $q=1$, что не всегда верно. Правильный показатель степени для знаменателя — $n-1$.
• в) $b_n = b_1 + (n-1)q$ — неверно. Эта формула относится к арифметической прогрессии, а не к геометрической.
• г) $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ — верно. Эта формула полностью совпадает с общей формулой n-го члена геометрической прогрессии.

Следовательно, правильным является вариант г).

г) $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ Ответ: