Номер 4.177, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.177. Найдите знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_1 = 8, b_2 = -2$;

б) $b_9 = -6, b_{10} = -12$;

в) $b_{15} = 5\sqrt{5}, b_{16} = 25$;

г) $b_n = \frac{3}{8}, b_{n+1} = 1\frac{3}{4}$.

Знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, обозначаемый как $q$, представляет собой постоянное отношение любого члена прогрессии к предыдущему члену. Для нахождения знаменателя используется формула, связывающая два последовательных члена: $$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$$

а) Даны члены прогрессии $b_1 = 8$ и $b_2 = -2$.
Используя формулу для знаменателя, получаем: $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

б) Даны члены прогрессии $b_9 = -6$ и $b_{10} = -12$.
Находим знаменатель, разделив десятый член на девятый: $$q = \frac{b_{10}}{b_9} = \frac{-12}{-6} = 2$$ Ответ: 2.

в) Даны члены прогрессии $b_{15} = 5\sqrt{5}$ и $b_{16} = 25$.
Вычисляем знаменатель: $$q = \frac{b_{16}}{b_{15}} = \frac{25}{5\sqrt{5}}$$ Упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на 5 и избавившись от иррациональности в знаменателе: $$q = \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$$ Ответ: $\sqrt{5}$.

г) Даны члены прогрессии $b_n = \frac{3}{8}$ и $b_{n+1} = 1\frac{3}{4}$.
Сначала представим смешанное число $1\frac{3}{4}$ в виде неправильной дроби: $$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$$ Теперь находим знаменатель: $$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{7}{4}}{\frac{3}{8}} = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{7 \cdot \cancel{8}^2}{\cancel{4}_1 \cdot 3} = \frac{14}{3}$$ Данная дробь является неправильной. Преобразуем ее в смешанное число, чтобы выделить целую часть: $$\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$$ Ответ: 4$\frac{2}{3}$.