Номер 4.175, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.175. Вычислите знаменатель и следующие четыре члена геометрической прогрессии:

а) -1; -2; -4; -8; ...;

б) 3; -0,3; 0,03; -0,003; ...;

в) 5; 5; 5; 5; ...;

г) $\sqrt{2}$; 2; $2\sqrt{2}$; 4; ... .

а) -1; -2; -4; -8; ...

Данная последовательность является геометрической прогрессией $(b_n)$ с первым членом $b_1 = -1$.

1. Вычислим знаменатель прогрессии $q$.
Знаменатель геометрической прогрессии находится как отношение любого члена прогрессии, начиная со второго, к предыдущему члену: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Возьмем первые два члена: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-2}{-1} = 2$.
Для проверки возьмем следующие два: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-4}{-2} = 2$.
Следовательно, знаменатель прогрессии $q = 2$.

2. Вычислим следующие четыре члена прогрессии.
Каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель $q$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = -8 \cdot 2 = -16$.
Шестой член: $b_6 = b_5 \cdot q = -16 \cdot 2 = -32$.
Седьмой член: $b_7 = b_6 \cdot q = -32 \cdot 2 = -64$.
Восьмой член: $b_8 = b_7 \cdot q = -64 \cdot 2 = -128$.

Ответ: знаменатель равен $2$; следующие четыре члена: $-16; -32; -64; -128$.

б) 3; -0,3; 0,03; -0,003; ...

Данная последовательность является геометрической прогрессией $(b_n)$ с первым членом $b_1 = 3$.

1. Вычислим знаменатель прогрессии $q$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-0,3}{3} = -0,1$.
Для проверки: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{0,03}{-0,3} = -0,1$.
Следовательно, знаменатель прогрессии $q = -0,1$.

2. Вычислим следующие четыре члена прогрессии.
$b_5 = b_4 \cdot q = -0,003 \cdot (-0,1) = 0,0003$.
$b_6 = b_5 \cdot q = 0,0003 \cdot (-0,1) = -0,00003$.
$b_7 = b_6 \cdot q = -0,00003 \cdot (-0,1) = 0,000003$.
$b_8 = b_7 \cdot q = 0,000003 \cdot (-0,1) = -0,0000003$.

Ответ: знаменатель равен $-0,1$; следующие четыре члена: $0,0003; -0,00003; 0,000003; -0,0000003$.

в) 5; 5; 5; 5; ...

Данная последовательность является геометрической прогрессией $(b_n)$ с первым членом $b_1 = 5$.

1. Вычислим знаменатель прогрессии $q$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5}{5} = 1$.
Знаменатель прогрессии $q = 1$.

2. Вычислим следующие четыре члена прогрессии.
Так как знаменатель равен 1, все члены прогрессии равны первому члену.
$b_5 = b_4 \cdot q = 5 \cdot 1 = 5$.
$b_6 = 5 \cdot 1 = 5$.
$b_7 = 5 \cdot 1 = 5$.
$b_8 = 5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: знаменатель равен $1$; следующие четыре члена: $5; 5; 5; 5$.

г) $\sqrt{2}$; 2; $2\sqrt{2}$; 4; ...

Данная последовательность является геометрической прогрессией $(b_n)$ с первым членом $b_1 = \sqrt{2}$.

1. Вычислим знаменатель прогрессии $q$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Для проверки: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Следовательно, знаменатель прогрессии $q = \sqrt{2}$.

2. Вычислим следующие четыре члена прогрессии.
$b_5 = b_4 \cdot q = 4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
$b_6 = b_5 \cdot q = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$.
$b_7 = b_6 \cdot q = 8 \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
$b_8 = b_7 \cdot q = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16$.

Ответ: знаменатель равен $\sqrt{2}$; следующие четыре члена: $4\sqrt{2}; 8; 8\sqrt{2}; 16$.