Номер 4.178, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.178. Как определить по заданному члену геометрической прогрессии его номер? В геометрической прогрессии 0,01; 0,1; 1; 10; ... найдите номер члена, равного 1 000 000.

Как определить по заданному члену геометрической прогрессии его номер?

Для определения номера $n$ заданного члена геометрической прогрессии $b_n$, необходимо знать ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Чтобы найти номер $n$, нужно решить это уравнение относительно $n$.

1. Выразим $q^{n-1}$, разделив обе части уравнения на $b_1$:
   $q^{n-1} = \frac{b_n}{b_1}$
2. Для нахождения показателя степени $n-1$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию $q$:
   $\log_q(q^{n-1}) = \log_q\left(\frac{b_n}{b_1}\right)$
3. Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:
   $n-1 = \log_q\left(\frac{b_n}{b_1}\right)$
4. Находим $n$:
   $n = \log_q\left(\frac{b_n}{b_1}\right) + 1$

Ответ: Чтобы найти номер $n$ заданного члена $b_n$ геометрической прогрессии, нужно знать первый член $b_1$ и знаменатель $q$, а затем вычислить $n$ по формуле $n = \log_q\left(\frac{b_n}{b_1}\right) + 1$.

В геометрической прогрессии 0,01; 0,1; 1; 10; ... найдите номер члена, равного 1 000 000.

1. Определим первый член и знаменатель прогрессии.
Первый член прогрессии: $b_1 = 0,01$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,1}{0,01} = 10$.

2. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Нам дан член прогрессии $b_n = 1 000 000$. Подставим известные значения в формулу:
$1 000 000 = 0,01 \cdot 10^{n-1}$

3. Решим полученное уравнение. Для удобства представим числа в виде степеней 10:
$1 000 000 = 10^6$
$0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$
Подставим эти значения в уравнение:
$10^6 = 10^{-2} \cdot 10^{n-1}$

4. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, упростим правую часть:
$10^6 = 10^{-2 + (n-1)}$
$10^6 = 10^{n-3}$

5. Так как основания степеней равны, то и их показатели равны:
$6 = n - 3$
$n = 6 + 3$
$n = 9$

Ответ: 9.