Номер 4.185, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.185. Верно ли, что можно найти первый член геометрической прогрессии по одному из его членов и знаменателю прогрессии? Найдите первый член геометрической прогрессии ($b_n$), в которой:

a) $b_8 = 384$ и $q = 2$;

б) $b_5 = 31,25$ и $q = -2,5$;

в) $b_{10} = \frac{1}{243}$ и $q = \frac{1}{3}$.

Да, верно. Зная формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, можно выразить из нее первый член $b_1$. Для этого нужно разделить n-й член прогрессии $b_n$ на знаменатель $q$ в степени $n-1$:

$b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$

Так как по условию известны n-й член ($b_n$), его номер ($n$) и знаменатель прогрессии ($q$), мы можем вычислить значение первого члена ($b_1$).

а) Дано: $b_8 = 384$ и $q = 2$. Используем формулу для нахождения первого члена прогрессии, выраженную из формулы n-го члена:$b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$Подставляем известные значения, где $n=8$:$b_1 = \frac{b_8}{q^{8-1}} = \frac{384}{2^7}$Вычисляем степень знаменателя:$2^7 = 128$Находим первый член прогрессии:$b_1 = \frac{384}{128} = 3$
Ответ: 3

б) Дано: $b_5 = 31,25$ и $q = -2,5$. Подставляем значения в формулу, где $n=5$:$b_1 = \frac{b_5}{q^{5-1}} = \frac{31,25}{(-2,5)^4}$Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных:$31,25 = 31\frac{1}{4} = \frac{125}{4}$$-2,5 = -2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$Вычисляем степень знаменателя:$(-2,5)^4 = (-\frac{5}{2})^4 = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}$Находим первый член прогрессии:$b_1 = \frac{\frac{125}{4}}{\frac{625}{16}} = \frac{125}{4} \cdot \frac{16}{625} = \frac{125 \cdot 16}{4 \cdot 625} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 5} = \frac{4}{5} = 0,8$
Ответ: 0,8

в) Дано: $b_{10} = \frac{1}{243}$ и $q = \frac{1}{3}$. Подставляем значения в формулу, где $n=10$:$b_1 = \frac{b_{10}}{q^{10-1}} = \frac{\frac{1}{243}}{(\frac{1}{3})^9}$Представим число 243 как степень числа 3:$243 = 3^5$Подставляем это значение в формулу:$b_1 = \frac{\frac{1}{3^5}}{\frac{1}{3^9}} = \frac{1}{3^5} \cdot \frac{3^9}{1} = \frac{3^9}{3^5}$По свойству степеней $a^m/a^n = a^{m-n}$:$b_1 = 3^{9-5} = 3^4 = 81$
Ответ: 81