вопрос 2, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если для всех членов последовательности, начиная со второго, выполняется условие:

а) $b_n = (n - 1) \cdot b_{n+1}$;

б) $b_n = b_{n-1} : b_{n+1}$;

в) $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$;

г) $b_n = \frac{b_{n-1} + b_{n+1}}{2}$.

Выберите правильный ответ.

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность $(b_n)$, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q \neq 0$, называемое знаменателем прогрессии. То есть, для любого $n \ge 2$ выполняется условие $b_n = b_{n-1} \cdot q$.

Из этого определения следует, что $q = \frac{b_n}{b_{n-1}}$. Поскольку это соотношение верно для всех членов, начиная со второго, мы можем записать:

$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n} = q$

Из равенства $\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n}$ по свойству пропорции (произведение средних членов равно произведению крайних) получаем:

$b_n \cdot b_n = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

Это так называемое характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению соседних с ним членов. Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

а) $b_n = (n - 1) \cdot b_{n+1}$

Из данной формулы следует, что отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{n-1}$. Это отношение является знаменателем прогрессии $q$. Так как оно зависит от номера члена $n$, то не является постоянной величиной, что противоречит определению геометрической прогрессии. Ответ: неверно.

б) $b_n = b_{n-1} : b_{n+1}$

Перепишем равенство как $b_n = \frac{b_{n-1}}{b_{n+1}}$. Если последовательность является геометрической, то $b_{n-1} = b_n / q$ и $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Подстановка в формулу дает: $b_n = \frac{b_n/q}{b_n \cdot q} = \frac{1}{q^2}$. Это означает, что все члены последовательности должны быть равны константе $1/q^2$, что неверно для произвольной геометрической прогрессии. Ответ: неверно.

в) $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

Как было показано выше, это равенство является характеристическим свойством геометрической прогрессии и выполняется для любой такой последовательности. Оно утверждает, что каждый член является средним геометрическим своих соседей. Ответ: верно.

г) $b_n = \frac{b_{n-1} + b_{n+1}}{2}$

Данное равенство ($2b_n = b_{n-1} + b_{n+1}$) является характеристическим свойством арифметической прогрессии, где каждый член равен среднему арифметическому своих соседей. Это неверно для геометрической прогрессии в общем случае. Ответ: неверно.