Номер 4.119, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.119. Используйте рациональный способ для вычисления суммы всех целых чисел, принадлежащих промежутку:

а) $(-33; 101];$

б) $[-56,2; 44,1].$

а) Для нахождения суммы всех целых чисел, принадлежащих промежутку $(-33; 101]$, необходимо сначала определить эти числа. Промежуток $(-33; 101]$ включает все целые числа $x$, удовлетворяющие строгому неравенству $x > -33$ и нестрогому неравенству $x \le 101$. Следовательно, наименьшим целым числом в этом промежутке является $-32$, а наибольшим — $101$.

Требуется найти сумму ряда чисел: $S = -32 + (-31) + \dots + (-1) + 0 + 1 + \dots + 31 + 32 + 33 + \dots + 101$.

Рациональный способ вычисления этой суммы состоит в том, чтобы заметить, что для каждого отрицательного числа в диапазоне от $-32$ до $-1$ есть соответствующее ему положительное число. Сумма таких пар противоположных чисел равна нулю: $(-32 + 32) = 0$, $(-31 + 31) = 0$, и так далее до $(-1 + 1) = 0$.

Таким образом, сумма всех целых чисел от $-32$ до $32$ равна нулю. $S = \underbrace{(-32 + (-31) + \dots + 31 + 32)}_{0} + (33 + 34 + \dots + 101)$.

Теперь задача сводится к вычислению суммы оставшихся чисел, которая представляет собой арифметическую прогрессию: $S = 33 + 34 + \dots + 101$.

Для нахождения суммы этой прогрессии используем формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов.

В нашем случае $a_1 = 33$ и $a_n = 101$. Количество членов $n$ можно найти по формуле $n = a_n - a_1 + 1$: $n = 101 - 33 + 1 = 69$.

Теперь вычислим сумму: $S = \frac{33 + 101}{2} \cdot 69 = \frac{134}{2} \cdot 69 = 67 \cdot 69 = 4623$.

Ответ: 4623.

б) Для нахождения суммы всех целых чисел, принадлежащих промежутку $[-56,2; 44,1]$, определим эти числа. Промежуток $[-56,2; 44,1]$ включает все целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-56,2 \le x \le 44,1$. Наименьшим целым числом в этом промежутке является $-56$ (первое целое число, которое больше или равно $-56,2$), а наибольшим — $44$ (последнее целое число, которое меньше или равно $44,1$).

Требуется найти сумму ряда чисел: $S = -56 + (-55) + \dots + (-1) + 0 + 1 + \dots + 43 + 44$.

Используем тот же рациональный подход, что и в предыдущем пункте. Сгруппируем противоположные числа, сумма которых равна нулю: $(-44 + 44) = 0$, $(-43 + 43) = 0$, и так далее до $(-1 + 1) = 0$.

Сумма всех целых чисел от $-44$ до $44$ равна нулю. $S = (-56 + (-55) + \dots + (-45)) + \underbrace{(-44 + (-43) + \dots + 43 + 44)}_{0}$.

Таким образом, задача сводится к вычислению суммы оставшихся отрицательных чисел: $S = -56 + (-55) + \dots + (-45)$.

Вынесем знак "минус" за скобки. Полученная в скобках последовательность является арифметической прогрессией: $S = -(45 + 46 + \dots + 56)$.

Найдем сумму прогрессии в скобках по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Здесь $a_1 = 45$ и $a_n = 56$. Количество членов $n = a_n - a_1 + 1$: $n = 56 - 45 + 1 = 12$.

Теперь вычислим сумму прогрессии в скобках: $S_p = \frac{45 + 56}{2} \cdot 12 = \frac{101}{2} \cdot 12 = 101 \cdot 6 = 606$.

Поскольку мы выносили знак "минус", итоговая сумма равна $-606$.

Ответ: -606.