Номер 292, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

292. Решите совокупность неравенств $\begin{cases} x^2 + 6x - 7 > 0, \\ x^2 - 3x + 2 \le 0. \end{cases}$

Для решения совокупности неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем объединить их решения. Совокупность обозначается квадратной скобкой и соответствует логической операции "ИЛИ".

1) Решим первое неравенство: $x^2 + 6x - 7 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -6$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -7$

Подбором находим корни: $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $x^2 + 6x - 7 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней (то есть на тех интервалах, где парабола выше оси абсцисс).

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -7) \cup (1, +\infty)$.

2) Решим второе неравенство: $x^2 - 3x + 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 3$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ также имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x^2 - 3x + 2 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями, включая сами корни (то есть на том отрезке, где парабола ниже или касается оси абсцисс).

Решение второго неравенства: $x \in [1, 2]$.

3) Объединение решений

Решением совокупности является объединение множеств решений обоих неравенств:

$((-\infty, -7) \cup (1, +\infty)) \cup [1, 2]$

Объединим промежутки $(1, +\infty)$ и $[1, 2]$. Это объединение включает точку 1 и все числа больше 1, что соответствует промежутку $[1, +\infty)$.

Таким образом, итоговое решение совокупности:

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup [1, +\infty)$.