Номер 17, страница 210 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Скорость санок постоянна: $v = \text{const}$

Угол приложения силы: $\alpha$ (одинаковый в обоих случаях)

Коэффициент трения скольжения: $\mu$ (одинаковый в обоих случаях)

Масса санок с сыном: $m$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Сравнить усилие $F_a$ (когда папа толкает) и $F_b$ (когда папа тянет).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона. Так как санки движутся с постоянной скоростью, их ускорение равно нулю ($a=0$), а значит, векторная сумма всех действующих на них сил также равна нулю. Рассмотрим оба случая.

Случай а: Папа толкает санки (рис. 7, а)

На санки действуют четыре силы: сила тяжести $P = mg$, направленная вертикально вниз; сила реакции опоры $N_a$, направленная вертикально вверх; сила трения скольжения $F_{тр, a}$, направленная против движения; и сила, с которой папа толкает санки, $F_a$, направленная под углом $\alpha$ вниз к горизонту.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную (Ox) и вертикальную (Oy) оси:

Ось Ox: $F_a \cos(\alpha) - F_{тр, a} = 0$

Ось Oy: $N_a - mg - F_a \sin(\alpha) = 0$

Из уравнения для оси Oy выразим силу реакции опоры $N_a$:

$N_a = mg + F_a \sin(\alpha)$

Как видно, сила реакции опоры в этом случае больше силы тяжести, так как к ней добавляется вертикальная составляющая толкающей силы.

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр, a} = \mu N_a = \mu(mg + F_a \sin(\alpha))$.

Подставим выражение для силы трения в уравнение для оси Ox:

$F_a \cos(\alpha) - \mu(mg + F_a \sin(\alpha)) = 0$

$F_a \cos(\alpha) - \mu F_a \sin(\alpha) = \mu mg$

$F_a (\cos(\alpha) - \mu \sin(\alpha)) = \mu mg$

Отсюда величина усилия, которое прикладывает папа:

$F_a = \frac{\mu mg}{\cos(\alpha) - \mu \sin(\alpha)}$

Случай б: Папа тянет санки (рис. 7, б)

В этом случае сила $F_b$ направлена под углом $\alpha$ вверх к горизонту. Уравнения второго закона Ньютона примут вид:

Ось Ox: $F_b \cos(\alpha) - F_{тр, b} = 0$

Ось Oy: $N_b + F_b \sin(\alpha) - mg = 0$

Выразим силу реакции опоры $N_b$ из уравнения для оси Oy:

$N_b = mg - F_b \sin(\alpha)$

Здесь сила реакции опоры меньше силы тяжести, так как вертикальная составляющая тянущей силы "помогает" приподнять санки.

Сила трения скольжения: $F_{тр, b} = \mu N_b = \mu(mg - F_b \sin(\alpha))$.

Подставим это выражение в уравнение для оси Ox:

$F_b \cos(\alpha) - \mu(mg - F_b \sin(\alpha)) = 0$

$F_b \cos(\alpha) + \mu F_b \sin(\alpha) = \mu mg$

$F_b (\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)) = \mu mg$

Отсюда величина усилия:

$F_b = \frac{\mu mg}{\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)}$

Сравнение усилий

Теперь сравним полученные выражения для сил $F_a$ и $F_b$. Числители в обеих формулах одинаковы ($\mu mg$). Сравним знаменатели.

Знаменатель для случая "а": $Z_a = \cos(\alpha) - \mu \sin(\alpha)$

Знаменатель для случая "б": $Z_b = \cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)$

Поскольку по условию $\alpha$ — это острый угол, а $\mu > 0$, то $\mu \sin(\alpha) > 0$. Следовательно, $Z_b > Z_a$.

Так как числители дробей равны, а знаменатель дроби для $F_b$ больше, то значение самой дроби $F_b$ будет меньше. Таким образом, $F_b < F_a$.

Ответ: Папа затратит меньше усилий, если будет тянуть санки (случай б), так как в этом случае вертикальная составляющая приложенной силы уменьшает силу давления санок на поверхность, что приводит к уменьшению силы трения.