Номер 21, страница 211 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Свободное падение из состояния покоя.

Начальная скорость: $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Ускорение: $a = g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Изменение показаний одометра за каждую секунду падения ($Δs_n$).

Решение:

Одометр измеряет пройденный путь. Для свободно падающего тела, движение которого является равноускоренным, путь $s$, пройденный за время $t$ с начальной скоростью $v_0$, определяется формулой:

$s(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Поскольку тело падает из состояния покоя ($v_0 = 0$) и с ускорением свободного падения ($a=g$), формула для общего пути, пройденного к моменту времени $t$, упрощается до:

$s(t) = \frac{gt^2}{2}$

Чтобы найти, на сколько изменяются показания одометра через каждую секунду, нужно вычислить путь, пройденный за каждый секундный интервал. Путь, пройденный за $n$-ую секунду ($Δs_n$), равен разности между полным путем, пройденным за $n$ секунд, и полным путем, пройденным за $n-1$ секунд.

$Δs_n = s(n) - s(n-1)$

Подставим нашу формулу для пути:

$Δs_n = \frac{gn^2}{2} - \frac{g(n-1)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки и раскроем квадрат разности:

$Δs_n = \frac{g}{2} (n^2 - (n-1)^2) = \frac{g}{2} (n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = \frac{g}{2} (2n - 1)$

Используя эту общую формулу, рассчитаем изменения показаний одометра для первых нескольких секунд, приняв $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

За первую секунду (n=1):

$Δs_1 = \frac{9.8}{2} (2 \cdot 1 - 1) = 4.9 \cdot 1 = 4.9 \text{ м}$

За вторую секунду (n=2):

$Δs_2 = \frac{9.8}{2} (2 \cdot 2 - 1) = 4.9 \cdot 3 = 14.7 \text{ м}$

За третью секунду (n=3):

$Δs_3 = \frac{9.8}{2} (2 \cdot 3 - 1) = 4.9 \cdot 5 = 24.5 \text{ м}$

За четвертую секунду (n=4):

$Δs_4 = \frac{9.8}{2} (2 \cdot 4 - 1) = 4.9 \cdot 7 = 34.3 \text{ м}$

Как видно из расчетов, пройденное расстояние за каждый последующий секундный интервал не является постоянным, а увеличивается. Разница между расстояниями, пройденными за две любые последовательные секунды, постоянна и равна ускорению свободного падения $g$:

$Δs_{n} - Δs_{n-1} = \frac{g}{2}(2n - 1) - \frac{g}{2}(2(n-1) - 1) = \frac{g}{2}(2n - 1 - (2n - 3)) = \frac{g}{2}(2) = g \approx 9.8 \text{ м}$

Таким образом, за каждую следующую секунду падения предмет пролетает на $9.8$ метра больше, чем за предыдущую.

Ответ: Показания одометра будут изменяться неравномерно. За первую секунду показания увеличатся примерно на $4.9 \text{ м}$, за вторую — на $14.7 \text{ м}$, за третью — на $24.5 \text{ м}$ и так далее. В общем случае, за $n$-ую секунду падения показания одометра изменятся на величину $Δs_n = \frac{g}{2} (2n - 1)$, где $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$. Каждую следующую секунду предмет будет пролетать на $g \approx 9.8 \text{ м}$ больше, чем в предыдущую.