Номер 38, страница 215 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса ящика: $m = 0,20$ т

Коэффициент трения на первом этаже: $\mu_1 = 0,10$

Коэффициент трения на третьем этаже: $\mu_2 = 0,30$

Размеры пути по схеме:

Длина участка AB: $L_{AB} = 30$ м

Проекции участка BC на оси: $\Delta x_{BC} = 10$ м, $\Delta y_{BC} = 10$ м

Высота подъема на лифте: $h = 10$ м

Примем ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

$m = 0,20 \text{ т} = 200 \text{ кг}$

Найти:

$A_{min}$ — минимальную работу рабочих.

Решение:

Минимальная работа, которую должны совершить рабочие для доставки ящика, равна сумме работы против силы трения при горизонтальном перемещении и работы по увеличению потенциальной энергии ящика при его подъеме на высоту (работа против силы тяжести).

$A = A_{тр} + A_{пот}$

Работа против силы тяжести (потенциальная энергия) не зависит от траектории, а только от высоты подъема. Она будет одинакова для обоих вариантов.

$A_{пот} = mgh = 200 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м} = 20000 \text{ Дж} = 20 \text{ кДж}$.

Работа против силы трения вычисляется по формуле $A_{тр} = F_{тр} \cdot S = \mu mgS$, где $S$ — пройденный по горизонтальной поверхности путь. Чтобы найти минимальную работу, нужно рассчитать полную работу для каждого из двух предложенных маршрутов и выбрать наименьшую.

1. Расчет работы для первого маршрута (A → лифт → F → E)

По этому маршруту ящик сначала поднимают на лифте из точки А в точку F на третьем этаже, а затем перемещают по полу третьего этажа из F в E.

Работа на этом пути складывается из работы по подъему ($A_{пот}$) и работы против трения на третьем этаже ($A_{тр,1}$).

Для расчета работы трения найдем расстояние $L_{FE}$. Примем точку А за начало координат (0, 0) в горизонтальной плоскости. Судя по схеме, точка E имеет координаты (30, 10). Тогда точка F, находящаяся над A, имеет координаты (0, 0). Расстояние $L_{FE}$ найдем по теореме Пифагора:

$L_{FE} = \sqrt{(30 \text{ м})^2 + (10 \text{ м})^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$ м.

Работа против силы трения на третьем этаже ($\mu_2 = 0,30$):

$A_{тр,1} = \mu_2 mg L_{FE} = 0,30 \cdot (200 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2) \cdot 10\sqrt{10} \text{ м} = 600 \text{ Н} \cdot 10\sqrt{10} \text{ м} = 6000\sqrt{10}$ Дж.

Используя $\sqrt{10} \approx 3,162$, получаем:

$A_{тр,1} \approx 6000 \cdot 3,162 = 18972$ Дж.

Полная работа для первого маршрута:

$A_1 = A_{пот} + A_{тр,1} = 20000 \text{ Дж} + 6000\sqrt{10} \text{ Дж} \approx 20000 + 18972 = 38972$ Дж $\approx 39,0$ кДж.

2. Расчет работы для второго маршрута (A → B → C → лифт → D → E)

По этому маршруту ящик сначала перемещают по полу первого этажа по пути ABC, затем поднимают на лифте из C в D, и наконец, перемещают по полу третьего этажа из D в E.

Работа складывается из работы против трения на первом этаже ($A_{тр,2.1}$), работы по подъему ($A_{пот}$) и работы против трения на третьем этаже ($A_{тр,2.2}$).

Найдем путь на первом этаже $L_{ABC}$.

$L_{AB} = 30$ м.

$L_{BC} = \sqrt{(\Delta x_{BC})^2 + (\Delta y_{BC})^2} = \sqrt{(10 \text{ м})^2 + (10 \text{ м})^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ м.

$L_{ABC} = L_{AB} + L_{BC} = 30 + 10\sqrt{2}$ м.

Работа против силы трения на первом этаже ($\mu_1 = 0,10$):

$A_{тр,2.1} = \mu_1 mg L_{ABC} = 0,10 \cdot 2000 \text{ Н} \cdot (30 + 10\sqrt{2}) \text{ м} = 200(30 + 10\sqrt{2}) = 6000 + 2000\sqrt{2}$ Дж.

Используя $\sqrt{2} \approx 1,414$, получаем: $A_{тр,2.1} \approx 6000 + 2828 = 8828$ Дж.

Теперь найдем путь на третьем этаже $L_{DE}$. Точка C имеет координаты (40, 10), а точка E — (30, 10). Точка D находится над C.

$L_{DE} = \sqrt{(40-30)^2 + (10-10)^2} = \sqrt{10^2} = 10$ м.

Работа против силы трения на третьем этаже ($\mu_2 = 0,30$):

$A_{тр,2.2} = \mu_2 mg L_{DE} = 0,30 \cdot 2000 \text{ Н} \cdot 10 \text{ м} = 6000$ Дж.

Полная работа для второго маршрута:

$A_2 = A_{тр,2.1} + A_{пот} + A_{тр,2.2} = (6000 + 2000\sqrt{2}) + 20000 + 6000 = 32000 + 2000\sqrt{2}$ Дж.

$A_2 \approx 32000 + 2828 = 34828$ Дж $\approx 34,8$ кДж.

Сравнение и определение минимальной работы

Сравнивая полные работы для двух маршрутов:

$A_1 \approx 39,0$ кДж

$A_2 \approx 34,8$ кДж

Видно, что $A_2 < A_1$. Следовательно, второй маршрут требует меньших затрат работы.

Минимальная работа равна $A_2$.

Ответ: Минимальная работа, которую совершат рабочие, составляет $A_{min} = 32000 + 2000\sqrt{2} \text{ Дж} \approx 34,8$ кДж.