Номер 168, страница 42 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Модуль скорости лодки относительно воды: $v_л = 2,0 \, \text{м/с}$
Модуль скорости течения воды в реке: $v_т = 1,0 \, \text{м/с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Отношение времени движения по реке к времени движения по озеру: $\frac{t_{река}}{t_{озеро}}$

Решение:

Пусть расстояние, которое лодочник проплывает в одну сторону, равно $S$. Общий путь туда и обратно в обоих случаях равен $2S$.

1. Движение по озеру.
В озере вода неподвижна, поэтому скорость лодки относительно берега равна ее скорости относительно воды, то есть $v_л$. Время, которое лодочник затратит на путь туда и обратно, вычисляется как: $t_{озеро} = \frac{S}{v_л} + \frac{S}{v_л} = \frac{2S}{v_л}$

2. Движение по реке.
При движении по реке на лодку влияет скорость течения $v_т$.
Когда лодка плывет по течению, ее скорость относительно берега равна сумме скоростей: $v_{по} = v_л + v_т$. Время движения по течению: $t_{по} = \frac{S}{v_л + v_т}$.
Когда лодка плывет против течения, ее скорость относительно берега равна разности скоростей: $v_{против} = v_л - v_т$. Время движения против течения: $t_{против} = \frac{S}{v_л - v_т}$.
Общее время движения по реке равно сумме времени движения по течению и против течения: $t_{река} = t_{по} + t_{против} = \frac{S}{v_л + v_т} + \frac{S}{v_л - v_т}$

Приведем выражение для $t_{река}$ к общему знаменателю $(v_л + v_т)(v_л - v_т) = v_л^2 - v_т^2$: $t_{река} = \frac{S(v_л - v_т) + S(v_л + v_т)}{(v_л + v_т)(v_л - v_т)} = \frac{S v_л - S v_т + S v_л + S v_т}{v_л^2 - v_т^2} = \frac{2S v_л}{v_л^2 - v_т^2}$

3. Сравнение времени.
Чтобы определить, во сколько раз отличаются промежутки времени, найдем их отношение: $\frac{t_{река}}{t_{озеро}} = \frac{\frac{2S v_л}{v_л^2 - v_т^2}}{\frac{2S}{v_л}}$

Упростим полученное выражение, сократив $2S$: $\frac{t_{река}}{t_{озеро}} = \frac{v_л}{v_л^2 - v_т^2} \cdot v_л = \frac{v_л^2}{v_л^2 - v_т^2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи: $\frac{t_{река}}{t_{озеро}} = \frac{(2,0)^2}{(2,0)^2 - (1,0)^2} = \frac{4,0}{4,0 - 1,0} = \frac{4,0}{3,0} \approx 1,33$

Ответ: промежуток времени, который лодочник затратит, чтобы проплыть один и тот же путь туда и обратно по реке, в $\frac{4}{3}$ раза (или приблизительно в 1,33 раза) больше, чем по озеру.