Номер 170, страница 42 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$t_1$ — время движения катера от пристани А до пристани В (вниз по течению).

$t_2$ — время движения катера от пристани В до пристани А (против течения).

Найти:

а) $\frac{v_к}{v_р}$ — отношение скорости катера относительно воды к скорости течения;

б) $t_{круг}$ — время, за которое спасательный круг проплывет путь $s = AB$;

в) $t_{стоячая}$ — время, за которое катер проплыл бы путь $s = AB$ в покоящейся воде.

Решение:

Введем обозначения: $s$ — расстояние между пристанями А и В; $v_к$ — скорость катера относительно воды (собственная скорость); $v_р$ — скорость течения воды в реке.

При движении катера вниз по течению его скорость относительно берега равна $v_к + v_р$. Путь $s$ катер проходит за время $t_1$. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$s = (v_к + v_р) t_1 \quad (1)$

При движении катера против течения его скорость относительно берега равна $v_к - v_р$. Этот же путь $s$ катер проходит за время $t_2$. Второе уравнение:

$s = (v_к - v_р) t_2 \quad (2)$

Теперь мы можем использовать эту систему уравнений для решения поставленных задач.

а) отношение скорости движения катера относительно воды к скорости течения воды в реке;

Поскольку левые части уравнений (1) и (2) равны ($s$), мы можем приравнять их правые части:

$(v_к + v_р) t_1 = (v_к - v_р) t_2$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$v_к t_1 + v_р t_1 = v_к t_2 - v_р t_2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $v_к$, в одной части уравнения, а слагаемые с $v_р$ — в другой:

$v_р t_1 + v_р t_2 = v_к t_2 - v_к t_1$

$v_р (t_1 + t_2) = v_к (t_2 - t_1)$

Из этого соотношения выражаем искомое отношение скоростей $\frac{v_к}{v_р}$:

$\frac{v_к}{v_р} = \frac{t_1 + t_2}{t_2 - t_1}$

Ответ: $\frac{t_2 + t_1}{t_2 - t_1}$

б) за какое время проплывет путь s = AB спасательный круг, упавший в реку;

Спасательный круг будет плыть со скоростью течения реки $v_р$. Время его движения $t_{круг}$ по пути $s$ определяется формулой:

$t_{круг} = \frac{s}{v_р}$

Чтобы найти это время, нам нужно выразить $v_р$ и $s$ через известные $t_1$ и $t_2$. Для этого решим систему уравнений (1) и (2) относительно $v_р$. Сначала выразим $v_к$ из обоих уравнений:

Из (1) $\implies v_к = \frac{s}{t_1} - v_р$

Из (2) $\implies v_к = \frac{s}{t_2} + v_р$

Приравнивая правые части, получаем:

$\frac{s}{t_1} - v_р = \frac{s}{t_2} + v_р$

$2v_р = \frac{s}{t_1} - \frac{s}{t_2} = s \left(\frac{t_2 - t_1}{t_1 t_2}\right)$

Отсюда находим отношение $\frac{s}{v_р}$, которое равно искомому времени $t_{круг}$:

$t_{круг} = \frac{s}{v_р} = \frac{2 t_1 t_2}{t_2 - t_1}$

Ответ: $t = \frac{2 t_1 t_2}{t_2 - t_1}$

в) за какое время проплыл бы путь s = AB катер в покоящейся воде.

В покоящейся воде скорость катера равна его собственной скорости $v_к$. Время движения $t_{стоячая}$ по пути $s$ определяется формулой:

$t_{стоячая} = \frac{s}{v_к}$

Для нахождения этого времени решим систему уравнений (1) и (2) относительно $v_к$. Выразим $v_р$ из обоих уравнений:

Из (1) $\implies v_р = \frac{s}{t_1} - v_к$

Из (2) $\implies v_р = v_к - \frac{s}{t_2}$

Приравнивая правые части, получаем:

$\frac{s}{t_1} - v_к = v_к - \frac{s}{t_2}$

$2v_к = \frac{s}{t_1} + \frac{s}{t_2} = s \left(\frac{t_2 + t_1}{t_1 t_2}\right)$

Отсюда находим отношение $\frac{s}{v_к}$, которое равно искомому времени $t_{стоячая}$:

$t_{стоячая} = \frac{s}{v_к} = \frac{2 t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

Ответ: $t = \frac{2 t_1 t_2}{t_1 + t_2}$