Номер 174, страница 43 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$s_1 = 15 \text{ км}$

$t = 45 \text{ мин}$

$s_2 = 9,0 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$s_1 = 15 \cdot 10^3 \text{ м}$

$t = 45 \cdot 60 = 2700 \text{ с}$

$s_2 = 9,0 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:

$v_{теч}$ - ? (модуль скорости течения воды относительно берега)

$v_{л}$ - ? (модуль скорости лодки относительно воды)

Решение:

Введем обозначения: $v_{л}$ – скорость лодки относительно воды (собственная скорость лодки), $v_{теч}$ – скорость течения реки относительно берега. Скорость плота относительно берега равна скорости течения $v_{теч}$.

Для удобства вычислений будем использовать единицы измерения км и часы. Переведем время в часы: $t = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = 0,75 \text{ ч}$.

1. Лодка движется от пристани А к пристани В (вниз по течению). Ее скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{л} + v_{теч}$. Она проходит расстояние $s_1$ за время $t$.

Из формулы пути $s = v \cdot t$ имеем:

$s_1 = (v_{л} + v_{теч}) \cdot t$

Отсюда можно выразить сумму скоростей:

$v_{л} + v_{теч} = \frac{s_1}{t} = \frac{15 \text{ км}}{0,75 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч}$. (1)

2. После прибытия в В лодка сразу поворачивает обратно и движется навстречу плоту (против течения). Плот все это время плывет от А вниз по течению.

Встреча происходит на расстоянии $s_2$ от пристани В. Это значит, что от пристани А плот проплыл расстояние $s_{плот} = s_1 - s_2$.

$s_{плот} = 15 \text{ км} - 9,0 \text{ км} = 6,0 \text{ км}$.

3. Найдем общее время движения плота и лодки до момента их встречи. Обозначим это время $T_{общ}$. Оно состоит из времени движения лодки от А до В ($t$) и времени движения лодки от В до точки встречи ($t_2$).

$T_{общ} = t + t_2$.

За время $T_{общ}$ плот прошел расстояние $s_{плот}$ со скоростью $v_{теч}$:

$s_{плот} = v_{теч} \cdot T_{общ} \implies 6,0 = v_{теч} \cdot T_{общ}$. (2)

4. Время $t_2$ – это время, за которое лодка прошла расстояние $s_2$ против течения. Скорость лодки против течения равна $v_{л} - v_{теч}$.

$t_2 = \frac{s_2}{v_{л} - v_{теч}} = \frac{9,0}{v_{л} - v_{теч}}$.

Тогда общее время: $T_{общ} = t + t_2 = 0,75 + \frac{9,0}{v_{л} - v_{теч}}$.

5. Подставим полученное выражение для $T_{общ}$ в уравнение (2):

$6,0 = v_{теч} \cdot (0,75 + \frac{9,0}{v_{л} - v_{теч}})$. (3)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными $v_{л}$ и $v_{теч}$.

Из уравнения (1) выразим $v_{л} = 20 - v_{теч}$.

Тогда скорость лодки против течения: $v_{л} - v_{теч} = (20 - v_{теч}) - v_{теч} = 20 - 2v_{теч}$.

Подставим эти выражения в уравнение (3):

$6,0 = v_{теч} \cdot (0,75 + \frac{9,0}{20 - 2v_{теч}})$

Решим это уравнение относительно $v_{теч}$:

$6,0 = 0,75 v_{теч} + \frac{9,0v_{теч}}{20 - 2v_{теч}}$

$(6,0 - 0,75v_{теч})(20 - 2v_{теч}) = 9,0v_{теч}$

$120 - 12v_{теч} - 15v_{теч} + 1,5v_{теч}^2 = 9,0v_{теч}$

$1,5v_{теч}^2 - 27v_{теч} + 120 = 9,0v_{теч}$

$1,5v_{теч}^2 - 36v_{теч} + 120 = 0$

Разделим все уравнение на 1,5:

$v_{теч}^2 - 24v_{теч} + 80 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256$.

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем корни уравнения:

$v_{теч,1} = \frac{-(-24) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20 \text{ км/ч}$

$v_{теч,2} = \frac{-(-24) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \text{ км/ч}$

6. Проанализируем полученные решения.

Если $v_{теч} = 20 \text{ км/ч}$, то из уравнения (1) находим собственную скорость лодки: $v_{л} = 20 - v_{теч} = 20 - 20 = 0 \text{ км/ч}$. Этот результат не имеет физического смысла, так как с нулевой собственной скоростью лодка не смогла бы двигаться против течения.

Если $v_{теч} = 4 \text{ км/ч}$, то собственная скорость лодки: $v_{л} = 20 - v_{теч} = 20 - 4 = 16 \text{ км/ч}$. Это решение физически возможно, поскольку собственная скорость лодки больше скорости течения ($16 \text{ км/ч} > 4 \text{ км/ч}$), что позволяет ей двигаться вверх по реке.

Ответ: модуль скорости течения воды относительно берега равен 4 км/ч; модуль скорости лодки относительно воды равен 16 км/ч.