Номер 55, страница 19 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Сторона куба $a = 10,0 \text{ см}$

Угол поворота $\alpha = 90^\circ$

Перевод в систему СИ:

$a = 10,0 \text{ см} = 0,100 \text{ м}$

$\alpha = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$

Найти:

Пути $s_A, s_B, s_C, s_D$ и модули перемещения $|\Delta\vec{r}_A|, |\Delta\vec{r}_B|, |\Delta\vec{r}_C|, |\Delta\vec{r}_D|$ для точек A, B, C, D.

Решение:

Согласно условию, куб поворачивают вокруг ребра $DD'$. Это означает, что прямая, проходящая через ребро $DD'$, является осью вращения. Все точки куба, не лежащие на этой оси, совершают движение по дугам окружностей. Плоскости этих окружностей перпендикулярны оси вращения $DD'$.

Путь, пройденный точкой, равен длине дуги окружности, по которой она движется. Он вычисляется по формуле:

$s = R \cdot \alpha$

где $R$ — радиус вращения (перпендикулярное расстояние от точки до оси вращения), а $\alpha$ — угол поворота в радианах. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ — это длина хорды, соединяющей начальное и конечное положение точки. При повороте на угол $\alpha = 90^\circ$ начальный и конечный радиус-векторы точки (относительно центра ее вращения) образуют прямой угол. Модуль перемещения в этом случае является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными $R$:

$|\Delta\vec{r}| = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Теперь определим радиусы вращения для каждой из указанных точек, исходя из геометрии куба и рисунка.

Для точки D

Точка D лежит на ребре $DD'$, которое является осью вращения. Следовательно, радиус ее вращения равен нулю.

$R_D = 0$

Путь, пройденный точкой D:

$s_D = R_D \cdot \alpha = 0 \cdot \frac{\pi}{2} = 0$

Модуль перемещения точки D:

$|\Delta\vec{r}_D| = R_D\sqrt{2} = 0 \cdot \sqrt{2} = 0$

Ответ: Путь, пройденный точкой D, равен $0$ см, модуль перемещения равен $0$ см.

Для точки A

Из рисунка видно, что A и D — это вершины, лежащие на одном ребре нижней грани куба ($AD$). Ребро $AD$ перпендикулярно оси вращения $DD'$. Таким образом, расстояние от точки A до оси вращения равно длине ребра куба $a$.

$R_A = a = 10,0 \text{ см}$

Путь, пройденный точкой A:

$s_A = R_A \cdot \alpha = a \frac{\pi}{2} = 10,0 \cdot \frac{\pi}{2} \approx 15,7 \text{ см}$

Модуль перемещения точки A:

$|\Delta\vec{r}_A| = R_A\sqrt{2} = a\sqrt{2} = 10,0 \cdot \sqrt{2} \approx 14,1 \text{ см}$

Ответ: Путь, пройденный точкой A, равен $15,7$ см, модуль перемещения равен $14,1$ см.

Для точки C

На рисунке показано, что точка C находится на верхней грани куба. Ребро $D'C$ (где $D'$ - верхняя вершина оси вращения) перпендикулярно оси $DD'$ и является ребром верхней грани. Следовательно, расстояние от точки C до оси вращения равно длине ребра куба $a$.

$R_C = a = 10,0 \text{ см}$

Путь, пройденный точкой C:

$s_C = R_C \cdot \alpha = a \frac{\pi}{2} = 10,0 \cdot \frac{\pi}{2} \approx 15,7 \text{ см}$

Модуль перемещения точки C:

$|\Delta\vec{r}_C| = R_C\sqrt{2} = a\sqrt{2} = 10,0 \cdot \sqrt{2} \approx 14,1 \text{ см}$

Ответ: Путь, пройденный точкой C, равен $15,7$ см, модуль перемещения равен $14,1$ см.

Для точки B

Точка B находится на верхней грани куба и расположена по диагонали от вершины $D'$ на этой грани. Расстояние от точки B до оси вращения $DD'$ равно длине диагонали грани куба.

$R_B = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 10,0\sqrt{2} \approx 14,1 \text{ см}$

Путь, пройденный точкой B:

$s_B = R_B \cdot \alpha = a\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = 10,0\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} \approx 22,2 \text{ см}$

Модуль перемещения точки B:

$|\Delta\vec{r}_B| = R_B\sqrt{2} = (a\sqrt{2})\sqrt{2} = 2a = 2 \cdot 10,0 = 20,0 \text{ см}$

Ответ: Путь, пройденный точкой B, равен $22,2$ см, модуль перемещения равен $20,0$ см.