Номер 54, страница 18 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус кольца, $R = 5,0 \text{ км}$

Количество кругов, $n = 2.25$

$R = 5,0 \text{ км} = 5000 \text{ м}$

Найти:

Путь, $s - ?$

Модуль перемещения, $|\vec{\Delta r}| - ?$

Решение:

Путь

Путь ($s$) — это скалярная величина, равная длине траектории, которую прошло тело. Длина одного полного круга (длина окружности) вычисляется по формуле $L = 2\pi R$.

Мотоциклист проехал 2.25 круга, поэтому общий путь составляет:

$s = n \cdot L = 2.25 \cdot (2\pi R) = 4.5\pi R$

Подставим значение радиуса $R = 5,0 \text{ км}$:

$s = 4.5 \cdot \pi \cdot 5,0 \text{ км} = 22.5\pi \text{ км}$

Вычислим числовое значение:

$s \approx 22.5 \cdot 3.14159 \text{ км} \approx 70.686 \text{ км}$

Учитывая, что радиус задан с двумя значащими цифрами, округляем результат:

$s \approx 71 \text{ км}$

Модуль перемещения

Перемещение ($\vec{\Delta r}$) — это вектор, направленный из начальной точки движения в конечную. Модуль перемещения — это длина этого вектора по прямой.

После двух полных кругов мотоциклист возвращается в точку старта. Следовательно, его итоговое положение и перемещение определяются только последней частью пути, равной четверти круга ($0.25$ круга).

Пусть начальная точка — А. Через четверть оборота (что соответствует центральному углу в $90^\circ$) мотоциклист окажется в точке В. Радиус-векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, проведенные из центра окружности O, перпендикулярны друг другу.

Таким образом, треугольник OAB является прямоугольным, где катеты $OA$ и $OB$ равны радиусу $R$. Модуль перемещения $|\vec{\Delta r}|$ является гипотенузой AB этого треугольника.

По теореме Пифагора:

$|\vec{\Delta r}|^2 = OA^2 + OB^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$

Отсюда находим модуль перемещения:

$|\vec{\Delta r}| = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Подставим значение радиуса $R = 5,0 \text{ км}$:

$|\vec{\Delta r}| = 5,0 \cdot \sqrt{2} \text{ км} \approx 5,0 \cdot 1.4142 \text{ км} \approx 7.071 \text{ км}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$|\vec{\Delta r}| \approx 7.1 \text{ км}$

Ответ: пройденный путь $s \approx 71$ км; модуль перемещения $|\vec{\Delta r}| \approx 7.1$ км.